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空间向量的数量积
空间向量的数量积的坐标表示
若
，
，则
。
空间向量的数量积的运算律
(1)
;
(2)
;
(3)
。
相关试题
设 
，若
，则实数k的值为（ ）。已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD= 
，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图2）。 
（Ⅰ）当x=2时，求证：BD⊥EG；
（Ⅱ）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；
（Ⅲ）当f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值。如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A=2，
（Ⅰ）证明：AC⊥A1B；
（Ⅱ）若棱AA1上存在一点P，使得
，当二面角A-B1C1-P 的大小为30°时，求实数λ的值． 
如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1B1C1均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，
（Ⅰ）求证：BD⊥AA1；
（Ⅱ）求二面角D-AA1-C的余弦值；
（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由。
如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点。 
（1）求证：DM⊥EB；
（2）求二面角M-BD-A的余弦值。直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC=BC=AA′，∠ACB=90°，D、E分别为AB、BB′的中点。 
（1）求证：CE⊥A′D；
（2）求异面直线CE与AC′所成角的余弦值。已知空间三点O（0，0，0），A（-1，1，0），B（0，1，1），若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为（ ）。 在空间四边形PABC 中，PA⊥平面ABC ，AC⊥BC. 若A 在PB、PC上的射影分别是E 、F，求证：EF⊥PB ． 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，M 是棱DD1 的中 点，O 为正方形ABCD 的中心，用坐标法证明向量 
设向量a= （3 ，5 ，-4 ），b=（2，1，8），计算2a+3b ，3a-2b ，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ、μ的值，使λa+ μb与z 轴垂直． 若a= （1 ，5 ，-1 ），b= （-2 ，3 ，5 ）。
（1）若（ka+b）∥（a-3b），求k；
（2）若（ka+b）⊥（a-3b），求k。已知a= （1 ，0 ，-1 ），b= （1 ，-1 ，O ），单位向量n 满足n ⊥a ， n ⊥b ，则n= 已知点A （2 ，3 ，-1 ），B （8 ，-2 ，4 ），C(3 ，0 ，5) ，是否存在实数x ，使 
与
垂直？已知空间三点A（0，2，3） 、B （-2 ，1 ，6 ）、C（1，-1，5）．
（1）求以
为邻边的平行四边形面积；
（2）若
，且a分别与
垂直，求向量a的坐标.在空间坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A（﹣3，﹣2，1）、B（﹣1，﹣1，﹣1）、C（﹣5，x，0），则x的值为（ ）． 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥AB，PA⊥AD，PA=AD=2AB，E为线段AD上的一点，且 
．
（I）当BE⊥PC时，求λ的值；
（II）求直线PB与平面PAC所成的角的大小．
在三棱锥 
中，
，
，
平面
平面
，
为
的中点.
（1）证明：
；
（2）求
所成角的大小.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC= 
， AD=1，CD=3，PD=
。
（1）证明△PBC为直角三角形；
（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值。
若l的方向向量为（2，1，m），平面α的法向量为（1，
，2），且l⊥α，则m=______．1 2 已知空间三点O（0，0，0），A（-1，1，0），B（0，1，1），若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为______． 向量
=（-2，-3，1），a
=（2，0，4），b
=（-4，-6，2），下列结论正确的是（ ）c A．
∥a
，b
⊥a b B．
∥a
，b
⊥a c C．
∥a
，c
⊥a b D．以上都不对 已知向量
=（1，1，1），向量a
满足b
∥a
，且(b
+a
)⊥（b
-a
），则（ ）b A．
=a b B．
=-a
．b C．
=a
或b
=-a
．b D．以上都不对 已知空间三个向量
=（1，-2，-17），a
=（x，2，-4），b
=（-1，y，3），若它们分别两两垂直，则x=______，y=______．c 两平面α、β的法向量分别为
=（3，-1，z），u
=（-2，-y，1），若α⊥β，则y+z的值是（ ）v A．-3 B．6 C．-6 D．-12 已知
=（2，-3，1），则下列向量中与a
平行的是（ ）a A．（1，1，1） B．（-2，-3，5） C．（2，-3，5） D．（-4，6，-2） 向量
=（-1，2，-4），a
=（2，-2，3）是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量b
=（2，3，1），则l与α是否垂直？______（填“是”或“否”）．m 已知点A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（-1，0，1），（2，1，1），点P的坐标为（x，0，z），若
⊥PA
，AB
⊥PA
，则点P的坐标为______．AC 已知
=（1，5，-2），a
=（m，2，m+2），若b
⊥a
，则m的值为（ ）b A．0 B．6 C．-6 D．±6 已知向量
=(-1，0，1)，a
=(1，2，3)，k∈R，且(kb
-a
)与b
垂直，则k等于______．b 若
=（2，-1，0），a
=（3，-4，7），且（λb
+a
）⊥b
，则λ的值是（ ）a A．0 B．1 C．-2 D．2 已知空间向量
=（2，-y，2），a
=（4，2，x），|b
|2+|a
|2=44，且b
⊥a
，x，y∈R，求x，y的值．b 设
=（x，4，3），a
=（3，-2，y），且b
∥a
，则xy=______．b 若
=（2，1，1），a
=（-1，x，1）且b
⊥a
，则x的值为（ ）b A．1 B．-1 C．2 D．0 若
=（2x，1，3），a
=（1，-2y，9），且b
∥a
，则 x=______，y=______．b 若向量
=2a
-i
+j
，k
=4b
+9i
+j
，则这两个向量的位置关系是 ______．k 已知P（-2，0，2），Q（-1，1，2），R（-3，0，4），设
=a
，PQ
=b
，实数k使得kPR
+a
与b
=（2，1，-2）垂直，则k的值为______．c 已知
=(-2，1，3)，a
=(-1，2，1)，若b
⊥(a
-λa
)，则实数λ的值为（ ）b A．-2 B．- 14 3 C． 14 5 D．2 已知
=(2，-3，1)，a
=(4，-6，x)，若b
⊥a
，则x等于（ ）b A．-26 B．-10 C．2 D．10 已知平面α的法向量是（2，3，-1），平面β的法向量是（4，λ，-2），若α⊥β，则λ的值是（ ） A．-6 B．6 C．- 10 3 D． 10 3 若向量
=（2，-1，1），a
=（4，9，1），则这两个向量的位置关系是______．b 已知向量
=（m，5，-1），a
=（3，1，r），若b
∥a
则实数m=______，r=______．b 若A(0，2，
)，B(1，-1，19 8
)，C(-2，1，5 8
)是平面α内的三点，设平面α的法向量5 8
=(x，y，z)，则x：y：z=______．a 已知
=(2，-1，3)，a
=(-4，2，x)，b
=(1，-x，2)，c
（1）若
∥a
，求x的值；b
（2）若(
+a
)⊥b
，求x的值．c 已知向量
=（4，3），AB
=（-3，-1），点A（-1，-2）．AD
（1）求线段BD的中点M的坐标；
（2）若点P（2，y）满足P
=λB
（λ∈R），求y与λ的值．BD
，1，1）
是正方体，其中
．
；
所成的锐二面角θ的正弦值大小；
到平面PAD的距离．
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