题目

题型：吉林省模拟题难度：来源：

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A₁B₁C₁均为60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
（Ⅰ）求证：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）求二面角D-AA₁-C的余弦值；
（Ⅲ）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由。

答案

解：设BD与AC交于O，则BD⊥AC，连结A₁O，
在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，∠A₁AO=60°，
所以A₁O²=AA₁²+AO²-2AA₁·AOcos60°=3，
所以AO²+A₁O²=AA₁²，所以A₁O⊥AO。
由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
所以A₁O⊥平面ABCD。
以OB，OC，OA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
 （Ⅰ）由于，
，
∴；
（Ⅱ）由于OB⊥平面，
∴平面的一个法向量为，
设，则，
设，则，
取，
∴，
所以，二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值为。
（Ⅲ）假设在直线CC₁上存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，
设，P（x，y，z），
则，
从而有，
设，则，
又，
设，则，取，
因为BP∥平面DA₁C₁，则，即，
得，即点P在C₁C的延长线上，且。