题目

题型：0103 期末题难度：来源：

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图2）。
（Ⅰ）当x=2时，求证：BD⊥EG；
（Ⅱ）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；
（Ⅲ）当f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值。

答案

解：（Ⅰ）∵平面AEFD⊥平面EBCF，又EF∥AD，∠AEF=，
∴AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，
又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz，
∵EA=2，∴EB=2，
又∵G为BC的中点，BC=4，
∴BG=2，则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），
D（0，2，2），E（0，0，0），
（-2，2，2），（2，2，0），
（-2，2，2）?（2，2，0）=0，
∴BD⊥EG。 （Ⅱ）∵AD∥面BFC，
所以

，
即x=2时，f（x）有最大值。 （Ⅲ）设平面DBF的法向量为，
∵AE=2， B（2，0，0），D（0，2，2）， F（0，3，0），
∴（-2，2，2），
则，
即，，
取x=3，y=2，z=1，∴，
∵AE⊥面BCF，∴面BCF一个法向量为，
则，
由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，
所以此二面角的余弦值为-。