题目

题型：吉林省模拟题难度：来源：

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A₁A=2，
（Ⅰ）证明：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）若棱AA₁上存在一点P，使得，当二面角A-B₁C₁-P 的大小为30°时，求实数λ的值．

答案

解：以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建系，
则，
，
（Ⅰ），
∴，
∴。
（Ⅱ）∵，
∴，
设平面的一个法向量为，
，
，
令，则，∴，
设平面的一个法向量为，
，
，∴，
∴，
∴λ=2。