相似三角形的判定

如图，正五边形ABCDE中，DC和AB的延长线交于F，则图中与△DBF相似的三角形有(不再添加其他的线段和字母，不包括△DBF本身)
[     ]
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

下列四个三角形中，与下图中的三角形相似的是
[     ]
A．
B．
C．
D．

如图，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连结AE，交边CD于点F。
（1）请写出两对相似三角形（不必说理）；
（2）请直接写出含AF的一个比例式。

数学活动课上，甲、乙两位同学在研究一道数学题：“已知：如图1，在ΔABC和ΔDEF中，∠A=∠D=
90°，∠B=50°，∠E=32°，且BC=EF，试画出直线m，l，使直线m将ΔABC分成的两个小三角形与直线l将ΔDEF分成的两个小三角形分别相似，并标出每个小三角形各内角的度数。”
甲同学是这样做的：如图2，使得两个直角三角形的斜边重合，以斜边中点O为圆心，OB长为半径作出辅助圆，根据到定点的距离等于定长的点在圆上，可知A、B（E）、C（F）、D在⊙O上。设BD所在的直线m与AC所在的直线l交于点G，根据同弧所对的圆周角相等，由∠ABC=50°，∠DEF=32°，易求得∠ABG=∠DFG=18°，再由∠A=∠D=90°，可求得∠AGB=∠DGF=72°，∠GCB=40°，∠BGC=
108°，从而ΔAGB~ΔDGF，ΔGBC~ΔGEF。
乙同学在甲同学的启发下，利用辅助圆又补充了其它分割方法。你看明白甲同学的分割方法了吗？请你仿照甲同学的方法，把这道题其它的所有分割方法补充完整。
要求：不需写解答过程，如图2所示，利用辅助圆画出示意图，标明直线及每个小三角形各内角的度数即可。

如图是一个10×10格点正方形组成的网格，△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处）。请在网格中画出两个与△ABC相似的格点三角形，要求：（1）相似比都不为1；（2）各边不能与格线重合。

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AD、BC的延长线交于点E。显然△EAB∽△ECD。在不添加辅助线的情况下，请你在图中再找出一对相似三角形，并加以证明。

如图所示，图中共有相似三角形
[     ]
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对

如图，在ΔABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠APC=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC²=AP·AB；④AB·CP=AP·CB，能满足ΔAPC与ΔACB相似的条件是（    ）。

如图，在⊙O中，，AB=3，AE·ED=5
（1） 求证：△AEC∽△ACD
（2） 求EC的长。

如图，在△ABC，P为AB上一点，连结CP，下列条件中不能判定△ACP∽△ABC的是
[     ]
A．∠ACP=∠B
B．∠APC=∠ACB
C．　
D．

如图，已知△ABC中，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F
（1）求证：△AFE∽△ABC；
（2）若∠A=60°时 ，求△AFE与△ABC面积之比。

已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2。求证：△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当S_△DMF=S_△BEP时，求BP的长。

如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC = EB。（1）求证：△CEB∽△CBD；
（2）若CE = 3，CB=5 ，求DE的长。

已知：如图（1），射线AM射线BN ，AB是它们的公垂线，点D 、C 分别在AM 、BN上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A 、B 不重合），在运动过程中始终保持DE⊥EC ，且AD+DE=AB=a
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）如图（2），当点E为AB边的中点时，求证：AD+BC=CD ；
（3）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示△BEC的周长；若无关，请说明理由。

如图，小正方形的边长均为1，下列图中的三角形与△ABC相似的是

A.

B.

C.

D.

如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且，EM切⊙O于M。
（1）△ADC∽△EBA；
（2）AC²=BC·CE；
（3）如果AB=2，EM=3，求cot∠CAD的值。

已知D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若要使△AED∽△ABC，那么只需要满足的条件是[     ]
A．∠B= ∠DAE
B．AD：AB=DE：BC
C．AD：BC=AE：AB
D．AE：AB=AD：AC

如图，在直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A. B两点，过点A作CA⊥AB，CA=，并且作CD⊥x轴
（1）求证：△ADC∽△BOA；
（2）若抛物线y= -x²+bx+c 经过B、C两点
①求抛物线的解析式；
②该抛物线的顶点为P，M是坐标轴上的一个点，若直线PM与y轴的夹角为30°，请直接写出点M的坐标。

如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∠B=90° ，AF//BC，在射线AF上是否存在点M，使△MEC与△ADE相似？若存在，请先确定点M，再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由。

如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD、CD上的点，∠BEF=90^。，则图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 四个三角形中一定相似的是

[     ]
A.Ⅰ 和Ⅱ
B.Ⅰ和Ⅲ
C.Ⅱ 和Ⅲ
D.Ⅲ和Ⅳ

如图所示：G是边长为4的正方形ABCD的边上一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD=5 。
（1）指出图中所有的相似三角形。
（2）求FG的长。

如图，D、E两点分别在AC、AB上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为合适的条件：（        ），使得△ADE∽△ABC。

下列图形一定相似的是[     ]
A．所有的直角三角形　　　 　
B．所有的等腰三角形　
C．所有的矩形　
D．所有的正方形　

如图，∠ACB=∠ADC=90^。，AC=，AD=2。问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？

如图，在Rt△ABC中，∠B=90^。，AB=BE=EF=FC。求证：△AEF∽△CEA。

如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F。 求证：
（1）ΔABF∽ΔACE；
（2）ΔAEF∽ΔACB。

如图所示，已知四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点。下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是
[     ]
A．∠APB=∠EPC
B．∠APE=90°
C．P是BC的中点
D．BP：BC=2：3

如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，由上述条件可以推出图中哪两个三角形相似？（    ）。（用符号语言表示，并直接填在横线上）

如图，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1。连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R。
（1）求证：△BFG∽△FEG；
（2）求出BF的长。

如图，梯形ABCD中，AB∥CD。且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点。EF与BD相交于点M。
（1）求证：△EDM∽△FBM；
（2）若DB=9，求BM。

如图，在正方形网络上有四个三角形，其中与△ABC相似（不包括△ABC本身）的有
[     ]
A．0个　
B．1个　
C．2个　
D．3个

已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分。问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标）。

如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有
[     ]
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

已知：如图，AC⊥BC，AD⊥AC，AD＞AC＞BC，请你添加一个条件使△ACD∽△CBA，你添加的条件是：（     ）。

已知：如图，□ABCD中，E是CD的中点，AE交BD于F。
（1）找出图中的相似三角形，并说明理由；
（2）若DF=3，求BD的长。

如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=2cm，在AB上取一点D，当AD= （     ）cm时，△ACD∽△ABC。

如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的
[     ]
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁

如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE。F为AE上一点，且∠BFE=∠C。
（1）△ABF与△EAD相似吗？为什么？
（2）若AB=8，BC=7，BE=6，求BF的长。 

如图，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形
[     ]
A．4对
B．5对
C．6对
D．7对

已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP

下列说法中，一定正确的是[     ]
A．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似 
B．底角为45°的两个等腰梯形相似
C．任意两个菱形相似
D．有一个钝角相等的两个等腰三角形相似

如图已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，则图中相似（但不全等）的三角形共有
[     ]
A．6对 
B．8对 
C．9对 
D．10对

如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，图中与△ADE相似的三角形有几个
[     ]
A．1
B．2
C．3
D．4

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是DC、BC边上的点，且∠AEF=90°，则下列结论正确的是
[     ]
A．△ABF∽△AEF 
B．△ABF∽△CEF 
C．△CEF∽△DAE
D．△DAE∽△BAF

如图，已知∠ACB=∠CBD=90^。，BC=a，AC=b，当CD为多少时，△CDB∽△ABC？
[     ]
A.
B.
C.
D.

如图，已知Rt△ABC与△DEF不相似，其中∠C、∠F为直角，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形分别对应相似？如果能，请设计出一种分割方案，并说明理由。

D、E分别在△ABC的边AB、AC上，要使△AED∽△ABC，应添上下列条件中的任意一个：（     ） (要求写出不少于三个条件)。

如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD 交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是
[     ]
A. △AED与△ACB
B. △AEB与△ACD
C. △BAE与△ACE
D. △AEC与△DAC

已知两个不相似的直角三角形ABC和A′B′C′中∠C=∠C′ =90°，能否将这两个三角形各分割成两个小三角形，使它们分别相似？你能想出几种分割方法？能否将这个问题推广到有一个角相等的两个任意三角形？

以下两个图形必定相似的是 [     ]
A. 有两条边对应成比例的等腰三角形
B. 有一角是25°的等腰三角形
C. 有一个角是100°的等腰三角形
D. 有一个角相等，两边成比例的三角形