题目

题型：上海模拟题难度：来源：

已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2。求证：△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当S_△DMF=S_△BEP时，求BP的长。

答案

解：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠C
BE=2，BP=2，CP=4，CD=4，∴，∴△BEP∽△CPD
（2）①
又∠EPF=∠C=∠B，∴
∴△BEP∽△CPF，∴
∴    ∴（）
②当点F在线段CD的延长线上时
∵∠FDM=∠C=∠B，   ∴△BEP∽△DMF
∵，∴
又  ∴，Δ＜0，∴此方程无实数根
故当点F在线段CD的延长线上时，不存在点P使
当点F在线段CD上时，同理△BEP∽△DMF
∵，∴ ，又∴△BEP∽△CPF
∴，∴
∴   ∴ ，解得，
由于不合题意舍去，∴，即BP=1
所以当时，BP的长为1