百科
二次函数的图象和性质
二次函数定义
一般地，把形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。顶点坐标
，交点式为
(仅限于与x轴有交点的抛物线)，与x轴的交点坐标是
和
。
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。[1-2]
相关试题
已知a＞0，a≠1，设P：函数y=loga（x+1）在x∈（0，+∞）上单调递减；Q：曲线y=x2+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点。如果P与Q有且只有一个正确，求a的取值范围。 某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元。
（1）求从第几年开始获取纯利润？（纯利润=租金收入-投资-装修费）
（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①纯利润总和最大时，以10万元出售；②该楼年平均利润最大时以46万元出售该楼，问哪种方案更优？已知 
。
（Ⅰ）若函数f (x)和函数g(x)的图象关于原点对称，求函数g(x)的解析式；
（Ⅱ）若h(x)=g(x)-
f(x)+1在[-
，
]上是增函数，求实数
的取值范围。 函数f（x）=cos2x+asinx+a+1，x∈R。
（Ⅰ）设函数f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；
（Ⅱ）若对于任意的x∈R，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[-2，0]，f(x)≥0恒成立，求x的取值范围。如图ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场的最大面积和最小面积。（请将结果精确到个位）。 
已知函数f（x）=sinxcosx-a（sinx+cosx）。
（1）若a=1时，求函数f（x）的最值；
（2）若函数f（x）在区间
上的最小值等于2，求实数a的值。平面上有四点A、B、Q、P，其中A、B为定点，且 
，P、Q为动点，满足|AP|=|PQ|=|QB|=1，△APB和△PQB的面积分别为m，n。
（1）若∠A=30°，求∠Q；
（2）求m2+n2的最大值。设二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），已知α，β不论为何实数恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0，
（1）求证：b+c+1=0；
（2）求证c≥3；
（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b，c值。绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低0.05元，则可多销售40瓶。据此请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和每月购进多少瓶该种饮料，才能获得最大利润？ 一物体作直线运动的速度与时间成正比，5秒钟时速度为20m/s，则物体开始运动10秒内所经过的路程为（ ）m。 张老板投资28万元经营某一消费品专买店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量q（百件）与销售单价p（元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元。 
（1）把q表示为p的函数；
（2）当销售价为52元每件，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（3）若该店只安排40名职工，问张老板最早可在几年后收回成本？已知函数 
满足
，且对于任意
，恒有
成立。（1）求实数a，b的值；
（2）解不等式
。 给出四个函数，分别满足：① 
；②
；
③
；④
。又给出四个函数的图象，则正确的匹配方案是
[ ] A．①-甲，②-乙，③-丙，④-丁
B．①-乙，②-丙，③-丁，④-甲
C．①-丙，②-甲，③-乙，④-丁
D．①-丁，②-甲，③-乙，④-丙求函数 
的最大值，并求此时x的集合。设二次函数 
对于任意实数
，
和
恒成立。
（1）求证：b+c=-1；
（2）求证：c≥3；
（3）若函数
的最大值为8，求b和c的值。 已知实数a，b，c，函数 
，当
时，
。
（1）证明：
；
（2）证明：当
时，
；
（3）设
，当
时，
的最大值为2，求
。 已知 
，求函数
，
的最大值与最小值。设二次函数 
，方程
的两个根
满足
。（1）当
时，证明：
；
（2）若函数
的图像关于直线
对称，证明：
。 某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是 
，该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？ 已知函数 
在区间[5，20]上有单调性，求参数k的取值范围。已知函数 
。
（1）当a=1时，求
的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使
在区间[-5，5]上是单调函数。 将进货单价40元的商品按50元一个出售时能卖出500个，若每涨价1元，其销售量就减少10个，为赚得最大利润，则销售价应为多少？ 若关于x的方程 
恒有实数解，则实数m的取值范围是（ ）。已知函数 
有最大值2，试求实数a的值。关于二次函数学生甲有以下观点：①二次函数必有最大值；②二次函数必有最小值；③闭区间上的二次函数必定同时存在最大值，最小值；④对于命题③，最值一定在区间端点取得。
你认为学生甲正确的观点序号是________。
根据你的判断试解决下述问题：
已知函数
在
上的最大值为3，求实数a的值。 求函数y=2-sin2x+cosx的最大值及相应的x的取值。 已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元。若甲、乙两个工厂的利润（万元）与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型： 
，
，
。 
（1）求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；
（2）在同一直角坐标系下画出函数
与
的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况若函数 
的定义域为R，则实数a的范围为（ ）。已知 
，函数
，求：
（1）函数
的定义域；
（2）函数
的值域。 已知扇形的周长为20cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 若f(x)=x2+bx+c，且f(1)=0，f(3)=0，求：
（1）b与c值；
（2）用定义证明f(x)在（2，+∞）上为增函数。
的值的情况
的导数为
，
，则
的最小值为 
的零点个数是
的定义域为[0，m]，值域为
，则m的取值范围是
这三个函数中，当
时，使
恒成立的函数的个数是
在区间[1，4]上的最小值为
，则
对任意
恒成立，则实数m的取值范围是
或
在[-1，1]
在区间
上是增函数，则实数a的取值范围是
，则f（x）的图象
，x∈[1，5]的值域是
，则
等于
在区间[-2，+∞)上是增函数，则
的范围是
≥25
=25
≤25 
>25 
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