题目

题型：解答题难度：困难来源：0103 期中题

已知。
（Ⅰ）若函数f (x)和函数g(x)的图象关于原点对称，求函数g(x)的解析式；
（Ⅱ）若h(x)=g(x)-f(x)+1在[-，]上是增函数，求实数的取值范围。

答案

解：
=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx，
（Ⅰ）设函数y=f (x)的图象上任一点M(x₀，y₀)关于原点的对称点为N（x，y），
则x₀=-x，y₀=-y，
∵点M在函数y=f(x)的图象上，
∴-y=sin²（-x）+2sin（-x），即y=-sin²x+2sinx，
∴函数g(x)的解析式为g(x)=-sin²x+2sinx。 
（Ⅱ） ，
设sinx=t，(-1≤t≤1)，
则有 ，(-1≤t≤1)
①当时，h(t)=4t+1在[-1，1]上是增函数，∴λ=-1；
②当时，对称轴方程为直线，
ⅰ）λ<-1时，≤-1，解得λ<-1；
ⅱ）λ>-1时，≥1，解得-1<λ≤0，
综上，λ的取值范围是λ≤0。