向量与空间位置关系

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A₁A=AB，E为BB₁延长线上的一点，D₁E⊥面D₁AC。

（Ⅰ）求二面角E-AC-D₁的大小；
（Ⅱ）在D₁E上是否存在一点P，使A₁P∥面EAC？若存在，求D₁P：PE的值；不存在，说明理由。

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点。
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小。

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁所有棱长都等于2，∠ABC和∠A₁AC均为60°，平面AA₁C₁⊥平面ABCD．
(Ⅰ)求证：BD⊥AA₁；
(Ⅱ)求二面角D-AA₁-C的余弦值；
(Ⅲ)在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(Ⅰ)证明：CM⊥SN；
(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小．

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动。
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）是否存在点E使得面D₁DE⊥面D₁EC？若存在，请求出此时点E到面ACD₁的距离；若不存在，请说明理由；
（3）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为？

在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AA₁，D，E，F分别为B₁A，C₁C，BC的中点，
(1)求证：DE∥平面ABC；
(2)求证：平面B₁FA⊥平面AEF；
(3)求二面角B₁-AE-F的大小。

正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求平面BDC与平面DEF的夹角的余弦值；
(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论。

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E ，F ，G ，H ，M ，N 分 别是正方体六个面的中心，求证：平面EFG ∥平面HMN.

在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE:EC= PF:FB=1:2．求证：平面CEF⊥平面PBC.

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1 ，求平面AB₁D₁与平面BDC₁的距离．

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，E是棱BC 的中点， 试在棱CC₁上求一点P ，使得平面A₁B₁P ⊥平面C₁DE ．

根据下列条件，判断相应的线、面位置关系．    (1) 直线l₁、l₂的方向向量分别是a= (1 ，-3 ，-1 )，b=(8 ，2 ，2) ；    
(2) 平面α、β的法向量分别是u=(1，3 ，0) ，v=(-3 ，-9 ，0) ；   
(3) 直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a=(1 ，-4 ，-3) ，u=(2 ，0 ，3) ；    
(4) 直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a=(3 ，2 ，1) ，u= （-1 ，2 ，-1 ）．

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是C₁C、B₁C₁的中点．求证：MN∥平面A₁BD．

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：平面A₁BD ∥平面CB₁D₁ ．

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E 、F 分别是BB₁ 、D₁B₁的中点．求证：EF ⊥平面B₁AC.

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a ，点E 、F 分别在A₁B 、B₁D₁上，且A₁E=(1)求证：EF∥平面ABC₁D₁；
(2)求EF与平面ABC₁D₁的距离d．

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别是棱AB、BC的中点，EF∩BD=G．求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁．

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中E、F、G分别是A₁D₁、D₁D、D₁C₁的中点．求证：平面EFG∥平面AB₁C ．

四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=（-1，2，-1），则PA与底面ABCD的关系是[     ]
A．相交    
B．垂直    
C．不垂直   
D．成60°角

如图所示，已知空间四边形ABCD ，P、Q分别是△ABC和△BCD的重心，求证：PQ ∥平面ACD.

已知E ，F ，G ，H   分别是空间四边形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．  (1) 用向量法证明：E ，F ，G ，H 四点共面．  
(2) 用向量法证明：BD ∥平面EFGH ，  
(3) 设M 是EG 和FH 的交点，求证：对于空间任意一点O，有

如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥底面ABCD ，底面ABCD为正方形，PD=DC，E 、F 分别是AB、PB的中点．   
（1）求证：EF⊥CD ；    
（2）在平面PAD 内求一点G ，使GF⊥平面PCB ，并证明你的结论．

 =　　[     ]
A．1　　
B．﹣1　　
C．﹣5　　
D．5

已知A（﹣4，6，﹣1），B（4，3，2），则下列各向量中是平面AOB（O是坐标原点）的一个法向量的是[     ]
A．（0，1，6）  
B．（﹣1，2，﹣1）  
C．（﹣15，4，36）  
D．（15，4，﹣36）

如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且求证：四边形EFGH是梯形．

如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM=，求证：MN∥平面CDE．

如图所示， 四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA = 1，PD＝，E为PD上一点，PE = 2ED．
（Ⅰ）求证：PA 平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

已知A（2，1，1），B（1，1，2），C（2，0，1），则下列说法中正确的是（　　）

A．A，B，C三点可以构成直角三角形

B．A，B，C三点可以构成锐角三角形

C．A，B，C三点可以构成钝角三角形

D．A，B，C三点不能构成任何三角形

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（Ⅰ）求证：B₁B∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求二面角B₁-AD₁-C的余弦值．

设平面α的法向量为（1，2，-2），平面β的法向量为（-2，-4，k），若α∥β，则k=______．

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若E为A₁C₁中点，则直线CE垂直于（　　）

A．AC

B．BD

C．A1D

D．A1A

若平面α与β的法向量分别是

a

=（1，0，-2），

b

=（-1，0，2），则平面α与β的位置关系是（　　）

A．平行

B．垂直

C．相交不垂直

D．无法判断

已知线段AB的两端点坐标为A（9，-3，4），B（9，2，1），则线段AB与坐标平面（　　）

A．xOy平行

B．xOz平行

C．yOz平行

D．yOz相交

已知l∥α，且l的方向向量为（2，-8，1），平面α的法向量为（1，y，2），则y=______．

如图，在长方体OAEB-O₁A₁E₁B₁中，OA=3，OB=4，OO₁=2，点P在棱AA₁上，且AP=2PA₁，点S在棱BB₁上，且SB₁=2BS，点Q、R分别是O₁B₁、AE的中点，求证：PQ∥RS．

若平面α，β的法向量分别为（-1，2，4），（x，-1，-2），并且α⊥β，则x的值为（　　）

A．10

B．-10

C． 1 2

D．- 1 2

如图所示直角梯形ABCD中，∠A=90°，PA⊥面ABCD，AD

与向量

a

=（12，5）平行的单位向量为（　　）

A．( 12 13 ，- 5 13 )	B．(- 12 13 ，- 5 13 )
C．( 12 13 ， 5 13 )或(- 12 13 ，- 5 13 )	D．(- 12 13 ， 5 13 )或( 12 13 ，- 5 13 )

如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，PA=

6

．
（1）求证：PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD与平面BDD₁B₁所成锐二面角的余弦值．

如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点，
（Ⅰ）求证：DM⊥EB；
（Ⅱ）设二面角M-BD-A的平面角为β，求cosβ．

下列各组向量中不平行的是（　　）

A． a =(1，2，-2)， b =(-2，-4，4)	B． c =(1，0，0)， d =(-3，0，0)
C． e =(2，3，0)， f =(0，0，0)	D． g =(-2，3，5)， h =(16，24，40)

已知A（-4，6，-1），B（4，3，2），则下列各向量中是平面AOB（O是坐标原点）的一个法向量的是（　　）

A．（0，1，6）

B．（-1，2，-1）

C．（-15，4，36）

D．（15，4，-36）

设

a

=(x，y，3)，

b

=(3，3，5)，且

a

⊥

b

，则x+y=（　　）

A．1

B．-1

C．-5

D．5

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F 是棱CD上的动点．
（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁-EF-A的余弦值以及BA₁与面C₁EF所成的角的大小．

已知A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1）三点，

n

=（1，1，1），则以

n

为方向向量的直线l与平面ABC的关系是（　　）

A．垂直	B．不垂直
C．平行	D．以上都有可能

平面α的一个法向量为

v

₁=（1，2，1），平面β的一个法向量为为

v

₂=（-2，-4，10），则平面α与平面β（　　）

A．平行

B．垂直

C．相交

D．不确定

若直线l的方向向量为

a

，平面α的法向量为

n

，能使l∥α的是（　　）

A． a =（1，0，0）， n =（-2，0，0）	B． a =（1，3，5）， n =（1，0，1）
C． a =（0，2，1）， n =（-1，0，-1）	D． a =（1，-1，3）， n =（0，3，1）

已知向量

a

=(2，-1，3)，

b

=(-4，2，x)，若

a

⊥

b

，则x=______；若

a

∥

b

则x=______．

平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为

u

=（-1，0，5），

v

=（t，5，1），则t的值为______．