线线垂直

叙述并证明三垂线定理。（写出已知、求证及证明过程，并做图）

如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，当底面ABCD满足条件（    ）时，有AC⊥B₁D。（写出你认为正确的一种条件即可）

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=1，AB=，BC=，AA₁=。
（I）求证：A₁B⊥B₁C；
（II）求二面角A₁-B₁C-B的大小。

点P在平面ABC的射影为O，且PA、PB、PC两两垂直，那么O是ABC的 [     ]
A、内心　　　
B、外心　　　
C、垂心　　　
D、重心

如图，△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小
[     ]
A．变大
B．变小
C．不变
D．有时变大有时变小

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AA₁=AB，D为BB₁的中点，E为AB₁上的一点，AE=3EB₁．
(Ⅰ)证明：DE为异面直线AB₁与CD的公垂线；
(Ⅱ)设异面直线AB₁与CD的夹角为45°，求二面角A₁-AC₁-B₁的大小．

四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC．
(Ⅰ)证明：AD⊥CE；
(Ⅱ)设侧面ABC为等边三角形，求二面角C-AD-E的大小．

如图，l₁、l₂是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l₁上，C在l₂上，AM=MB=MN，
(Ⅰ)证明：AC⊥NB；
(Ⅱ)若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．

四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC。
（1）证明：AD⊥CE；
（2）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C-AD-E的大小。

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=。
（1）证明：SA⊥BC；
（2）求直线SD与平面SAB所成角的大小。

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC上，且不与点C重合， (1)当CF=1时，求证：EF⊥A₁C；
(2)设二面角C-AF-E的大小为θ，求tanθ的最小值．

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b，AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n，若a＞b，则

[     ]

A.θ＞φ，m＞n
B.θ＞φ，m＜n
C.θ＜φ，m＜n
D.θ＜φ，m＞n

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点，
（Ⅰ）求证AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值。

如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=，点P到平面α的距离PH=0.4（km）。沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用，从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为万元/km。当山坡上公路长度为lkm（1≤l≤2）时，其造价为（l²+1）a万元。已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），OA=（km），
（Ⅰ）在AB上求一点D，使沿折线PDAD修建公路的总造价最小；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；
（Ⅲ）在AB上是否存在两个不同的点D′、E′，使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于（Ⅱ）中得到的最小总造价，证明你的结论。

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b．AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则（　　）

A．θ＞φ，m＞n

B．θ＞φ，m＜n

C．θ＜φ，m＜n

D．θ＜φ，m＞n

试用向量证明三垂线定理及其逆定理．

△ABC的BC边在平面α内，A在α上的射影为A′，若∠BAC＞∠BA′C，则△ABC一定为（　　）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．以上都不是

如图△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小（　　）

A．变大	B．变小
C．不变	D．有时变大有时变小科网

已知点P是四边形ABCD所在平面外一点，且P到这个四边形各边的距离相等，那么这个四边形一定是（　　）

A．圆内接四边形	B．矩形
C．圆外切四边形	D．平行四边形

PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是．

A．PA⊥BC

B．BC⊥平面PAC

C．AC⊥PB

D．PC⊥BC

已知二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么（　　）

A．∠CEB＞∠DEB

B．∠CEB=∠DEB

C．∠CEB＜∠DEB

D．∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b．AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则（　　）

A．θ＞φ，m＞n

B．θ＞φ，m＜n

C．θ＜φ，m＜n

D．θ＜φ，m＞n

PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是．

A．PA⊥BC

B．BC⊥平面PAC

C．AC⊥PB

D．PC⊥BC

如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．

如图，AO⊥平面α，点O为垂足，BC⊂平面α，BC⊥OB，若∠ABO=

π

4

，∠COB=

π

6

，则cos∠BAC=______．