题目

题型：北京高考真题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点，
（Ⅰ）求证AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值。

答案

解：（Ⅰ）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，
∴AC⊥BC₁；
（Ⅱ）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，
∴DE∥AC₁，
∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁。
（Ⅲ）∵DE∥AC₁，
∴∠CED为AC₁与B₁C所成的角，
在△CED中，，
∴，
∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为。