题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，l₁、l₂是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l₁上，C在l₂上，AM=MB=MN，
(Ⅰ)证明：AC⊥NB；
(Ⅱ)若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．

答案

(I)证明：由已知l₂⊥MN，l₂⊥l₁，MN∩l₁=M，
可得l₂⊥平面ABN，
由已知MN⊥l₁，AM=MB=MN，
可知AN=NB且AN⊥NB，
又AN为AC在平面ABN内的射影，
∴AC⊥NB． (Ⅱ)解：∵Rt△CNA≌Rt△CNB，
∴AC=BC，
又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形，
∵Rt△ANB≌Rt△CNB，
∴NC=NA=NB，
因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，
连结BH，∠NBH即为NB与平面ABC所成的角，
在Rt△NHB中，，
∴NB与平面ABC所成角的余弦值为。