题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

答案

(Ⅰ)见解析 ； (Ⅱ) 。

解析

本试题主要是考查了空间立体几何中线线垂直和二面角的求解的综合运用。
（1）因为线线垂直的证明关键是找到线面垂直，利用线面垂直的性质定理得到线线垂直。
（2）建立合理的空间直角坐标系，表示出平面的法向量，利用法向量的夹角来表示二面角的平面角的大小。
解： (Ⅰ)当时，底面为正方形，
又因为,面…………………………2分
又面
…………………………3分

(Ⅱ) 因为两两垂直，分别以它们所在直线
为轴、轴、轴建立坐标系，如图所示，
则…………………4分
设，则
要使，只要
所以，即………6分
由此可知时，存在点使得
当且仅当，即时，边上有且只有一个点，使得
由此可知…………………………8分设面的法向量
则即解得…………………………10分
取平面的法向量
则的大小与二面角的大小相等所以
因此二面角的余弦值为…………………………12分