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题目
题型:不详难度:来源:
过点P(


10
2
,0)
作倾斜角为α的直线l与曲线x2+12y2=1交于点M,N.求|PM|•|PN|的最小值及相应的α的值.
答案
xz 设M(x1,y1),N(x2,y2)直线方程y=k(x-


10
2
),
则k=tana,向量


PM
=(x1-


10
2
y1
),


PN
=(x2-


10
2
y2)

联立椭圆方程得,(12k2+1) x2-12


10
k2 x+30k2 =1

韦达定理得x1+x2=
12


10
k2
12k2+1
x1x2=
30k2-1
12k2+1
,),y1y2=  k2(x1-


10
2
)(x2-


10
2
)

则|PM||PN|=


PM


PN
=(x1-


10
2
y1
)•(x2-


10
2
y2

=(x1-


10
2
)(x2-


10
2
)+y1y2

=x1x2-


10
2
(x1+x2)+
5
2
+y1y2

=(1+k2)[x1x2-


10
2
(x1+x2)+
5
2
]

=(k2+1)(
30k2-1
12k2+1
-


10
2
12 


10
k2
12k2+1
+
5
2

=
3+3k2
24k2+2
=
1
8
(1+
11
12k2+1
)

当直线与椭圆相切时,|PM||PN|的值最小,
此时△=0,即k2=
1
18
,|PM||PN|的最小值为
19
20

于是此时a=arctan


2
6
或π-arctan


2
6
核心考点
试题【过点P(102,0)作倾斜角为α的直线l与曲线x2+12y2=1交于点M,N.求|PM|•|PN|的最小值及相应的α的值.】;主要考察你对椭圆的几何性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆C1
x2
m+2
+
y2
n
=1
与双曲线C2
x2
m
-
y2
n
=1
共焦点,则椭圆C1的离心率e的取值范围为(  )
A.(


2
2
,1)
B.(0,


2
2
)
C.(0,1)D.(0,
1
2
)
题型:马鞍山二模难度:| 查看答案
已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率e的取值范围(  )
A.(0,
2


3
3
)
B.(0,


3
3
)
C.(
2


3
3
,1)
D.(


3
3
,1)
题型:不详难度:| 查看答案
已知F1(-1,0),F2(1,0)为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的两个焦点,若椭圆上一点P满足|


PF1
|+|


PF2
|=4,则椭圆的离心率e=______.
题型:韶关模拟难度:| 查看答案
已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a,b>0)的焦点坐标为F1(-2,0),点M(-2,


2
)在椭圆E上.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设Q(1,0),过Q点引直线l与椭圆E交于A,B两点,求线段AB中点P的轨迹方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
4
+y2=1
的焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点,且∠F1PF2=90°,则点P的纵坐标可以是(  )
A.


2
3
B.


3
3
C.
2


3
3
D.
2


6
3
题型:朝阳区三模难度:| 查看答案
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