定义函数F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞). (1)令函数f(x)=F[1,log2(x3-3x)]的图象为曲线C1求与直线4x+15y-3=0垂直的曲线C1的切线方程; (2)令函数g(x)=F[1,log2(x3+ax2+bx+1)]的图象为曲线C2,若存在实数b使得曲线C2在x0(x0∈(1,4))处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围; (3)当x,y∈N*,且x<y时,证明F(x,y)>F(y,x). |
(1)f(x)=F[1,log2(x3-3x)]=(1+1)log2(x3-3x)=x3-3x, 由log2(x3-3x)>0,得x3-3x>1.又f′(x)=3x2-3=,由f′(x)=0,得x=±, ∵x3-3x>1,∴x=-.又f(-)=,∴切点为(-,). ∴存在与直线4x+15y-3=0垂直的切线,其方程为y-=(x+),即15x-4y+27=0. (2)g(x)=[1,log2(x3+ax2+bx+1)]=x3+ax2+bx+1. 由log2(x3+ax2+bx+1)>0,得x3+ax2+bx>0, 由g′(x)=3x2+2ax+b=-8,得b=-3x2-2ax-8, x3+ax2+bx=x3+ax2+x(-3x2-2ax-8)=-2x3-ax2-8x>0在(1,4)上有解, ∴2x2+ax+8<0在(1,4)上有解,即a<-2x-在(1,4)上有解,∴a<(-2x-)max(1<x<4), 而-2x-=-(2x+)≤-2=-8,当且仅当x=2时取等号,∴a<-8. 故实数a的取值范围为(-∞,-8). 证明:(3)F(x,y)>F(y,x)⇔(1+x)y>(1+y)x⇔yln(1+x)>xln(1+y)⇔>, 令h(x)=,则h′(x)=,当x≥2时,<1<ln(1+x), ∴h′(x)<0,h(x)单调递减. ∴当2≤x<y时,h(x)>h(y),又当x=1且y=2时,h(1)=ln2>ln3=h(2). 故当x,y∈N*,且x<y时,h(x)>h(y),即F(x,y)>F(y,x). |
核心考点
试题【定义函数F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).(1)令函数f(x)=F[1,log2(x3-3x)]的图象为曲线C1求与直线4x+15y-3=0垂直】;主要考察你对
函数的单调性与导数等知识点的理解。
[详细]
举一反三
若函数f(x)=ax3+blog2(x+)+2在(-∞,0)上有最小值-5,(a,b为常数),则函数f(x)在(0,+∞)上 ( )A.有最大值5 | B.有最小值5 | C.有最大值3 | D.有最大值9 |
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已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值是( ) |
若函数f(x)=ax3-3x在(-1,1)上单调递减,则实数a的取值范围是( ) |
设x=3是函数f(x)=(+ax+b)(x∈R)的一个极值点. ①求a与b的关系式(用a表示b); ②求f(x)的单调区间; ③设a>0,g(x)=(+),若存在ξ1,ξ2∈[0,4],使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<1成立.求a的取值范围. |
已知函数f(x)=,g(x)=tx-t. (1)当t=8时,求函数y=f(x)-g(x)的单调区间: (2)求证:当t>0时f(x)≥g(x)对任意正实数x都成立; (3)若存在正实数x0,使得g(x0)≤4x0-对任意正实数t都成立,请直接写出满足这样条件的-个x0的值(不必给出求解过程). |