题目

题型：不详难度：来源：

含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转角（且≠ 90°），得到Rt△，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥交边于点E，连接BE.

（1）如图1，当边经过点B时，=      °；
（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；
（3） 设 BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=
时，求AD的长，并判断此时直线与⊙E的位置关系.

答案

（1）60
（2）证明略
（3）直线与⊙E相交

解析

（1）当边经过点B时，="  60 " °；………………………… 1分
（2）猜想：①如图8，点D在AB边上时，m=2；
②如图9，点D在AB的延长线上时，m=4.
（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）
证明：① 当时，点D在AB边上（如图8）.

（阅卷说明：①、②两种情况没写的取值范围不扣分）
∵ DE∥，
∴ .
由旋转性质可知，CA =，CB=，∠ACD=∠BCE.
∴ .
∴ △CAD∽△CBE. ……………2分
∴ ∠A =∠CBE=30°.
∵ 点D在AB边上，∠CBD=60°，
∴ ，即 m="2." ………………………………………3分
② 当时，点D在AB的延长线上（如图9）.

与①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.
∵ 点D在AB的延长线上，，
∴ ，即 m="4.  " ……………………………………4分
（阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣1分.）
（3）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴ AB =" 2" ，，.
由 △CAD∽△CBE 得 .
∵ AD=x，
∴ ，.
①当点D在AB边上时，AD=x，，∠DBE=90°.
此时，.
当S =时，.
整理，得 .
解得 ，即AD=1.…………………5分
此时D为AB中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE.（如图10）

∴ EC = EB.
∵ ，点E在边上，
∴ 圆心E到的距离EC等于⊙E的半径EB.
∴ 直线与⊙E相切. …………………………………………………6分
②当点D在AB的延长线上时，AD=x，，∠DBE=90°.（如图9）.
.
当S =时，.
整理，得 .
解得 ，（负值，舍去）.
即.……………………………………………………………… 7分
此时∠BCE=，而，∠CBE=30°，
∴ ∠CBE＜∠BCE .
∴ EC＜EB，即圆心E到的距离EC小于⊙E的半径EB.
∴ 直线与⊙E相交. ……………………………………………………8分