题目

题型：南开区二模难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）设AB的中点为Q，求证：PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角M-BD-C的大小为60°，求

CM

CP

的值．

答案

（Ⅰ）证明：∵侧面PAB是正三角形，AB的中点为Q，∴PQ⊥AB，
∵侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD=AB，PQ⊂侧面PAB，
∴PQ⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接AC，设AC∩BD=O，建立空间直角坐标系O-xyz，
则O（0，0，0），B(

3

，0，0)，C（0，1，0），D(-

3

，0，0)，P(

3

2

，-

1

2

，

3

)，

PD

=(-

3 3

2

，

1

2

，-

3

)，平面ABCD的法向量

m

=(0，0，1)，
设斜线PD与平面ABCD所成角的为α，
则sinα=|cos＜

m

，

PD

＞|=|

m • PD

| m || PD |

|=

3

27 4 + 1 4 +3

=

30

10

．
（Ⅲ）设

CM

=t

CP

=(

3

2

t，-

3

2

t，

3

t)，
则M(

3

2

t，-

3

2

t+1，

3

t)，

BM

=(

3

2

t-

3

，-

3

2

t+1，

3

t)，

DB

=2

3

(1，0，0)，
设平面MBD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n

⊥

DB

⇔

n

•

DB

=0⇔x=0，

n

⊥

MB

⇔

n

•

MB

=0⇔(

3

2

t-

3

)x+(-

3

2

t+1)y+

3

tz=0，
取z=

3

，得

n

=(0，

6t

3t-2

，

3

)，又平面ABCD的法向量

m

=(0，0，1)．
∴|

m • n

| m | n |

|=|cos＜

m

，

n

＞|=|cos60°|，∴

3

3+( 6t 3t-2 )2

=

1

2

，
解得t=2（舍去）或t=

2

5

．
所以，此时

CM

CP

=

2

5

．