题目

题型：不详难度：来源：

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2，E为BD₁的中点，F为AB中点．
（1）求证：EF∥平面ADD₁A₁；
（2）若BB1=

2

2

，求A₁F与平面DEF所成角的正弦值．

答案

（1）证明：连接AD₁，在△ABD₁中
∵E是BD₁的中点，F是BA中点，
∴EF∥AD₁
又EF⊄平面ADD₁A₁，AD₁⊂平面ADD₁A₁
∴EF∥平面ADD₁A₁．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyzz（DG为AB边上的高）
则有A₁（

3

2

，-

1

2

，

2

2

），F（

3

2

，

1

2

，0），D₁（0，0，

2

2

），
B（

3

2

，

3

2

，0），
∴E（ 

3

4

，

3

4

，

2

4

 ），
设平面DEF的一个法向量为n=（x，y，z），
由，

n• DE =0 n• DE =0

得

3 4 x+ 3 4 y+ 2 4 z=0 3 2 x+ 1 2 y=0

取x=1解得y=-

3

 ，  z=

6

∴法向量n=(1，-

3

，

6

)
∵

A1F

=（0，1，-

2

2

），
设A₁F与平面DEF所成的角为θ，则
sinθ=|cos〈

A1F

，n＞|=

| A1F •n|

| A1F |•|n|

=

|0×1+1×(- 3 )+(- 2 2 )× 6 |

3 2 × 10

=

2 5

5

∴A₁F与平面DEF所成角的正弦值为

2 5

5

．