题目

题型：吉林省期末题难度：来源：

已知函数f（x）=log₂（ax²+2x﹣3a）．
（Ⅰ）当a=﹣1时，求该函数的定义域和值域；
（Ⅱ）如果f（x）≥1在区间[2，3]上恒成立，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）当a=﹣1时，f（x）=log₂（ax²+2x﹣3a）．
令﹣x²+2x+3＞0，解得﹣1＜x＜3
所以函数f（x）的定义域为（﹣1，3）．
令t=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，则0＜t≤4
所以f（x）=log₂t≤log₂4=2
因此函数f（x）的值域为（﹣∞，2]
（2）f（x）≥1在区间[2，3]上恒成立等价于ax²+2x﹣3a﹣2≥0在区间[2，3]上恒成立
由ax²+2x﹣3a﹣2≥0且x∈[2，3]时，x²﹣3＞0，得
令，则h"（x）=
所以h（x）在区间[2，3]上是增函数，
所以h（x）_max=h（3）=﹣
因此a的取值范围是[﹣，+∞）．