题目

题型：江苏期末题难度：来源：

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax﹣3），其中a为常数．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间（﹣1，0）上是增函数，求a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+f"（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．

答案

解：（1）∵f（x）=ax³﹣3x²
∴f"（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）．
∵x=1是f（x）的一个极值点，
∴f"（1）=0，
∴a=2
（2）①当a=0时
f（x）=﹣3x²在区间（﹣1，0）上是增函数
∴a=0符合题意；
②当a≠0时，f"（x）=3ax，
令f"（x）=0得：x₁=0，x₂=
当a＞0时，对任意x∈（﹣1，0），f"（x）＞0，
∴a＞0 （符合题意）
当a＜0时，当时f"（x）＞0，
∴，
∴﹣2≤a＜0（符合题意）
综上所述，a≥﹣2．
（3）a＞0，g（x）=ax³+（3a﹣3）x²﹣6x，x∈[0，2]．
g"（x）=3ax²+2（3a﹣3）x﹣6=3[ax²+2（a﹣1）x﹣2]，
令g"（x）=0，即ax²+2（a﹣1）x﹣2=0（*），显然有△=4a²+4＞0．
设方程（*）的两个根为x₁，x₂，由（*）式得，
不妨设x₁＜0＜x₂．
当0＜x₂＜2时，g（x₂）为极小值
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
当x₂≥2时，由于g（x）在[0，2]上是单调递减函数所以最大值为g（0），
所以在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
又已知g（x）在x=0处取得最大值
所以g（0）≥g（2）
即0≥20a﹣24，解得a≤，
又因为a＞0，所以．