百科
函数极值与最值
用导数求函数的极值例题
例3.求函数f(x)=(1/3)x3-4x+4的极值
解：由 f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=-2.
当x变化时，y′、y的变化情况如下：
当x=-2时，y有极大值f(-2)=-(28/3)，当x=2时，y有极小值f(2)=-(4/3).
方法提升：求可导函数极值的步骤是：(1)确定函数定义域，求导数f′(x);(2)求f′(x)= 0的所有实数根;(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根(如x0)的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值;如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.。注意：如果f′(x)= 0的根x = x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值。
相关试题
在我市新一轮农村电网改造升级过程中，需要选一个电阻调试某村某设备的线路，但调试者手中必有阻值分别为0.5KΩ，1KΩ，1.3KΩ，2KΩ，3KΩ，5KΩ，5.5KΩ等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优选试验时，依次将电阻从小到大安排序号，如果第1个试点与第2个试点比较，第1个试点是一个好点，则第3个试点值的阻值为 [ ] A、1KΩ
B、1.3KΩ
C、5KΩ
D、1KΩ或5KΩ已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是（ ）g。 已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是（ ）。 已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间．若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是（ ）g。 已知一种材料的最佳加入量在l000g到2000g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是（ ）g。 某制药厂为了缩短培养时间，决定优选培养温度，试验范围定为29℃至50℃，现用分数法确定最佳温度，设第1，2，3次试验的温度分别为x1，x2，x3，若第2个试点比第1个试点好，则x3的值为（ ）。 一个试验要求的温度在69℃~90℃之间，用分数法安排试验进行优选，则第一个试点安排在（ ）。（取整数值） 用黄金分割法寻找最佳点，试验区间为[1000，2000]，若第一个二个试点为好点，则第三个试点应选在（ ）。 （选做题）某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃，精确度要求±1℃，用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为（ ）。 在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.7KΩ，1.1KΩ，1.9K Ω，2.0K Ω，3.5K Ω，4.5K Ω，5.5K Ω七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优法进行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第1个试点的电阻的阻值是（ ）. 用0.618法确定的试点，则经过（ ）次试验后，存优范围缩小为原来的0.6184倍． （选做题）那霉素发酵液生物测定，一般都规定培养温度为（37±1）°C，培养时间在16小时以上，某制药厂为了缩短时间，决定优选培养温度，试验范围固定在29～50°C，精确度要求±1°C，用分数法安排实验，令第一试点在t1处，第二试点在t2处，则t1+t2=（ ）． 已知A﹑B﹑C是直线上的三点，向量 
﹑
﹑
满足
；
（Ⅰ）求函数y=f(x)的表达式；
（Ⅱ）若x＞0， 证明：f(x)＞
；
（Ⅲ）当
时，x∈[-1，1]及b∈[-1，1]都恒成立，求实数m的取值范围。 函数 
，
的最大值是（ ）。已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1万件，需要另投入1.9万元。设R（x）（单位：万元）为销售收入，根据市场调查，得到 
，其中x是年产量（单位：万件）。
（Ⅰ）写出年利润W关于年产量x的函数解析式；
（Ⅱ）年产量x为多少时，该公司在这一品牌的生产中所获得的年利润最大？若函数 
。
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若对所有的
，都有
成立，求实数a的取值范围。 已知函数 
，若
时，
有极值；
在点
处的切线
不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线
的距离为
。
（1）求a，b，c的值；
（2）求
在
上的最大值和最小值。 已知二次函数 
，其导函数
的图象如图，
。 
（1）求函数 
在x=3处的切线斜率；
（2）若函数
在区间
上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数
的图像总在函数
图象的上方，求c的取值范围。 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为 
万件。
（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值
。 求函数 
在区间[-2，2]的最大值和最小值。 已知函数f（x）=-x3+ax2-4，
（1）若f（x）在
处取得极值，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（3）若存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立，求实数a的取值范围。一个圆环直径为 
m，通过铁丝BC，CA1，CA2，CA3（A1，A2，A3是圆上三等分点且BC长度大于0）悬挂在B处，圆环呈水平状态并距天花板2m，如图所示。
（Ⅰ）设BC长为x（m），铁丝总长为y（m），试写出y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（Ⅱ）当x取多长时，铁丝总长y有最小值，并求此最小值。已知函数f（x）=ax-ln（-x），x∈[-e，0)，其中e是自然常数，a∈R。
（1）若函数f（x）单调递增，求实数a的范围；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。已知f(x)=lnx， 
（m＜0），直线l与函数f(x)、g(x)的图像都相切，且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1。
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h(x)= f(x+1)-g′(x)，求函数h(x)的最大值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，总有
。 函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间[0，3]上的最大值和最小值分别是（ ）。 已知函数f(x)=axlnx图像上点（e，f(e)）处的切线方程与直线y=2x平行（其中e=2.71828…），
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数f(x)在[n，n+2]（n＞0）上的最小值；
（Ⅲ）对一切x∈(0，e]，3 f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围。已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在 
与x=1时都取得极值。
（1）求a，b的值与函数f(x)的单调区间；
（2）若对x∈[1，2]，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围。若函数f(x)=(a-3)x-ax3在区间[-1，1]上的最小值等于-3，则实数a的取值范围是 [ ] A.(-2，+∞)
B.[
，12]
C.[，13]
D.(-2，12]某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系式为：p=24200- 
x2，且生产x吨的成本为R=50000+200x（元），问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本） 已知函数f(x)=ax-lnx，x∈(0，e]， 
，其中e是自然常数，其近似值为2.71828，a∈R。
（1）当a=1时，求函数f(x)的极值；
（2）求证：在（1）的条件下，f(x)＞g(x)+
；
（3）是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.若函数f（x）= 
x3-x在（a，10-a2）上有最小值，则实数a的取值范围为（ ）已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是R上的奇函数，且在x=1时取得极小值 
．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）对任意x1，x2∈[-1，1]，证明：
． 已知函数f(x)=x2-x+alnx
(1)当x≥1时，f（x）≤x2恒成立，求a的取值范围；
(2)讨论f（x）在定义域上的单调性；某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆，在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为 
元。假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元。
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？已知函数f(x)=4x3-4ax，当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f(x)|＞1的解集为空集，则满足条件的实数a的取值范围是 [ ] A.(-∞，
)
B.(
，+∞) C.{
}
D.[1，+∞)已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R)。
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数y=f(x)的图象在点（2，f(2)）处的切线的倾斜角为45°，对任意的t∈[1，2]，若函数g(x)=x3+x2[f′(x)+
]在区间(t，3)上有最值，求实数m取值范围；
(3)求证：
。 设f（x）=
+xlnx，g（x）=x3-x2-3.
（1）a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处得切线方程；
（2）若果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的s，t∈[
，2]，都有f(s)≥g（t）成立，求实数a的取值范围。 设f(x)= 
+xlnx，g(x)=x3-x2-3．
（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
（2）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)- g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的s，t∈[
，2]，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围． 已知a∈R，函数f(x)=xln(-x)+(a-1)x，（注：[ln(-x)] ′= 
）
（Ⅰ）若f(x)在x=-e处取得极值，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间[-e2，-e-1]上的最大值g(a)。某品牌电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A、B两种型号的电视机的投放金额分别为p、q万元，农民购买A、B两种电视机获得的补贴分别为 
万元，已知A、B两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A、B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值（精确到0.1，参考数据：ln4≈1.4）。 已知函数f(x)= 
x3-（2a+1）x2+3a（a+2）x+1，a∈R。
（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点（3，f(3)）处的切线方程；
（2）当a=-1时，求函数y=f(x)在[0，4]上的最大值和最小值；
（3）当函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点时，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=2lnx-x2（x＞0）。
（1）求函数f(x)的单调区间与最值；
（2）若方程2xlnx+mx-x3=0在区间[
，e]内有两个不相等的实根，求实数m的取值范围；（其中e为自然对数的底数）
（3）如果函数g(x)=f(x)-ax的图像与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：g′(px1+qx2)＜0（其中，g′(x)是g(x)的导函数，正常数p，q满足p+q=1，q＞p）
在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 
的最大值是
、
是R上的可导函数，
、
分别为
、
的导函数，且满足
，则当
时有 
的最大值为
上的最大值是
-1（x＜0），则f(x) 最新试题
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