已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；
（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值． |
（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f"（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：．
（2）由题设a2=4b，设h(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+a2x+1
则h′(x)=3x2+2ax+a2，令h"（x）=0，解得：x1=-，x2=-；
∵a＞0，∴-＜-，
| x | （-∞，-） | - | (-，-) | - | (-，+∞） | | h′（x） | + | | - | | + | | h（x） | | 极大值 | | 极小值 | |
核心考点
试题【已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）】；主要考察你对 函数极值与最值等知识点的理解。 [详细]举一反三
已知函数f（x）=eax-x，其中a≠0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．
（2）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由． | 已知函数f1（x）=x2，f2（x）=alnx（其中a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）=f1（x）•f2（x）的极值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f1（x）-f2（x）+（a-1）x在区间（，e）内有两个零点，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：当x＞0时，1nx+-＞0．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…） | 已知函数f（x）=-x．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与X轴平行，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对一切正数x，都有f（x）≤-1恒成立，求a的取值集合． | 已知函数f（x）=a（lnx-x）（a∈R）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，函数g（x）=x3+x2[+f′(x)]在区间（2，3）上总存在极值，求实数m的取值范围． | | 设函数f（x）=xsinx在x=x0处取得极值，则（1+x02）cos2x0的值为（ ） |
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