题目
题型:不详难度:来源:
(1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合.
(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)(x1<x2),记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)>k成立?若存在,求x0的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
∵a≠0,∴a>0
∵f′(x)=aeax-1,令f′(x)=0,可得x=
1 |
a |
1 |
a |
令f′(x)<0,可得x<
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
∴x=
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
∴对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,则
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
令g(t)=t-tlnt,则g′(t)=-lnt
当0<t<1时,g′(t)>0,g(t)单调递增;当t>1时,g′(t)<0,g(t)单调递减
∴t=1时,g(t)取最大值g(1)=1
∴当且仅当
1 |
a |
综上所述,a的取值集合为{1};
(2)由题意知,k=
eax2-eax1 |
x2-x1 |
令φ(x)=f′(x)-k=aeax-
eax2-eax1 |
x2-x1 |
eax1 |
x2-x1 |
φ(x2)=
eax2 |
x2-x1 |
令F(t)=et-t-1,则F′(t)=et-1
当t<0时,F′(t)<0,函数单调减;当t>0时,F′(t)>0,函数单调增;
∴t≠0时,F(t)>F(0)=0,即et-t-1>0
∴ea(x2-x1)-a(x2-x1)-1>0,ea(x1-x2)-a(x1-x2)-1>0
∵
eax1 |
x2-x1 |
eax2 |
x2-x1 |
∴φ(x1)<0,φ(x2)>0
∴存在c∈(x1,x2),φ(c)=0
∵φ′(x)单调递增,故这样的c是唯一的,且c=
1 |
a |
eax2-eax1 |
a(x2-x1) |
当且仅当x∈(
1 |
a |
eax2-eax1 |
a(x2-x1) |
综上所述,存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)>k成立,且x0的取值范围为(
1 |
a |
eax2-eax1 |
a(x2-x1) |
核心考点
试题【已知函数f(x)=eax-x,其中a≠0.(1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合.(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
(Ⅰ)求函数f(x)=f1(x)•f2(x)的极值;
(Ⅱ)若函数g(x)=f1(x)-f2(x)+(a-1)x在区间(
1 |
e |
(Ⅲ)求证:当x>0时,1nx+
3 |
4x2 |
1 |
ex |
lnx |
a |
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与X轴平行,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对一切正数x,都有f(x)≤-1恒成立,求a的取值集合.
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(II)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,函数g(x)=x3+x2[
m |
2 |
A.0 | B.1 | C.2 | D.3 |
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