题目
题型:浙江省高考真题难度:来源:
(Ⅰ)若x=e为y=f(x)的极值点,求实数a;
(Ⅱ)求实数a的取值范围,使得对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立。
注:e为自然对数的底数。
答案
(Ⅰ)解:求导得f′(x)=2(x-a)lnx+,
因为x=e是f(x)的极值点,
所以f"(e)=,
解得a=e 或a=3e,经检验,符合题意,
所以a=e或a=3e。
(Ⅱ)解:①当0<x≤1时,对于任意的实数a,恒有成立;
②当1<x≤3e,由题意,首先有,
解得;
由(Ⅰ)知,,
则,
且
,
又h(x)在(0,+∞)内单调递增,
所以函数h(x)在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点为x0,
则,
从而,当时,;当时,;当时,,
即f(x)在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增;
所以要使f(x)≤4e2对x∈(1,3e]恒成立,
只要成立,
,知,(3)
将(3)代入(1)得,
又,注意到函数在[1,+∞)内单调递增,故;
再由(3)以及函数2xlnx+x在(1,+∞)内单调递增,可得。
由(2)解得,
所以;
综上,a的取值范围为。
核心考点
试题【设函数f(x)=(x-a)2lnx,a∈R,(Ⅰ)若x=e为y=f(x)的极值点,求实数a;(Ⅱ)求实数a的取值范围,使得对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求b的取值范围;
(Ⅱ)设x1,x2,x3是f(x)的3个极值点,问是否存在实数b,可找到x4∈R,使得x1,x2,x3,x4的某种排列(其中{i1,i2,i3,i4}={1,2,3,4})依次成等差数列?若存在,求所有的b及相应的x4;若不存在,说明理由.
(1)求证:fn(x)≥nx;
(2)是否存在区间[a,0](a<0),使函数在区间[a,0]上的值域为[ka,0]?若存在,求出最小的k值及相应的区间[a,0],若不存在,说明理由。
(1)若函数f(x)在x=0时取得极小值,试确定a的取值范围;
(2)在(1)的条件下,设由f(x)的极大值构成的函数为g(x),试判断曲线g(x)只可能与直线2x-3y+m=0,3x-2y+n=0(m,n为确定的常数)中的哪一条相切,并说明理由。
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