平面向量的数量积

　　代数定义

　　设二维空间内有两个向量和，定义它们的数量积(又叫内积、点积)为以下实数：更一般地，n维向量的内积定义如下:

　　几何定义

　　设二维空间内有两个向量和，它们的夹角为，则内积定义为以下实数：该定义只对二维和三维空间有效。

　　两种定义的等价性

　　以三维空间为例子①几何定义推导代数定义设，，根据向量坐标的意义可知

根据点乘的分配律得

又

，所以

注意：点乘的分配律在空间内可通过几何证明，无需藉助向量关系，因此不属于循环推导。

　　②代数定义推导几何定义设，，它们的终点分别为和，原点为O，夹角为。则

在△OAB中，由余弦定理得：

利用距离公式对这个等式稍作处理，得

去括号、合并得

注意：余弦定理和距离公式亦无需向量知识