题目
题型:山西省模拟题难度:来源:
(1)若函数f(x)在x=0时取得极小值,试确定a的取值范围;
(2)在(1)的条件下,设由f(x)的极大值构成的函数为g(x),试判断曲线g(x)只可能与直线2x-3y+m=0,3x-2y+n=0(m,n为确定的常数)中的哪一条相切,并说明理由。
答案
令f′(x)=0,得x=0,x=2-a,
当a=2时,恒成立,此时函数f(x)单调递减,x=0不是函数的极值点;
当a>2时,2-a<0,若x>0,则f′(x)<0;若2-a<x<0,则f′(x)>0,此时x=0是函数f(x)的极大值点;
当a<2时,2-a>0,若x<0,则f′(x)<0;若0<x<2-a,则f′(x)>0,x=0是函数f(x)的极小值点;
综上所述,使得函数f(x)在x=0处取得极小值的a的取值范围是a<2。
(2)由(1)知a<2时,函数f(x)在x=2-a时取得极大值,
故函数f(x)的极大值等于,故,
(x<2),
令,则,对于x<2大于零恒成立,即函数h(x)在(-∞,2)单调递减,
故在(-∞,2)上,,即恒有g′(x)<1,
由直线2x-3y+m=0的斜率是,直线3x-2y+n=0的斜率是,
根据导数的几何意义知曲线g(x)只能可能与直线2x-3y+m=0相切。
核心考点
试题【已知函数f(x)=(x2+ax+a)e-x(a为常数),(1)若函数f(x)在x=0时取得极小值,试确定a的取值范围;(2)在(1)的条件下,设由f(x)的极大】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)上有极小值点,求实数a的取值范围;
(2)若当x∈[-1,1]时,f(x)>0,求实数a的取值范围。
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(x)+t,是否存在实数t,使得曲线y=g(x)与x轴有两个交点,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。
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