题目

题型：0103 模拟题难度：来源：

定义函数f_n（x）=（1+x）ⁿ-1，x＞-2，n∈N。
（1）求证：f_n（x）≥nx；
（2）是否存在区间[a，0]（a<0），使函数在区间[a，0]上的值域为[ka，0]？若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由。

答案

解：（1）
令
则
当时，
当时，
∴g（x）在x=0处取得极小值，同时g（x）是单峰函数，则g（0）也是最小值
∴
即（当且仅当x=0时取等号）；（2）

令得，
∴当时，
当时，
当
故h（x）的草图如图所示
①在时，最小值
∴
②在时，最小值
，
③在时，最小值=
∴，时取等号
综上讨论可知k的最小值为，此时。