题目

题型：重庆难度：来源：

设数列{a_n}满足：a1=，1，a2=

5

3

，an+2=

5

3

an+1+

1

3

an，(n=1，2，…)
（1）令b_n=a_n+1-a_n，（n=1，2…）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n．

答案

（1）∵bn+1=an+2-an+1=

5

3

an+1-

2

3

an- an+1
=

2

3

(an+1-an)=

2

3

bn
∴{b_n}是以公比为

2

3

的等比数列，且b1=a2-a1=

2

3

∴b_n=(

2

3

)n
（2）由bn=an+1- an =(

2

3

)n得
a_n+1-a₁=（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）
=(

2

3

)n+(

2

3

)n-1+…+ (

2

3

)2+

2

3

=2[1-(

2

3

)n ]
注意到a₁=1，可得an=3-

2n

3n-1

记数列{

n2n-1

3n-1

}的前n项和为T_n，则
Tn=1+2•

2

3

+…+n•(

2

3

)n-1，

2

3

Tn=

2

3

+2•(

2

3

)2+…+n•(

2

3

)n
两式相减得

1

3

Tn=1+

2

3

+(

2

3

)2+ …+(

2

3

)n-1-n•(

2

3

) n=3[1-(

2

3

)n]-n(

2

3

)n
故Tn=9[1-(

2

3

)n]-3n(

2

3

)n=9-

(3+n)2n

3n-1

从而S_n=a₁+2a₂+…+na_n=3（1+2+3+…+n）-2T_n
=

3

2

n(n+1)+

(n+3)2n+1

3n-1

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