题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知一次函数y=-

3

4

x+3的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C在AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间用t（单位：秒）表示．
（1）求AB的长；
（2）当t为何值时，△ACD与△ABO相似？并直接写出此时点C的坐标．

答案

（1）当x=0时，y=3；当y=0时，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=

32+42

=5；

（2）依题意BC=t，AC=5-t，AD=t，
若△ACD∽△ABO相似，
∴

AC

AB

=

AD

AO

，
代入得：

5-t

5

=

t

4

，
解得：t=

20

9

，
∴点C的横坐标也就是AO-AD=AO-t=4-

20

9

=

16

9

，
再把x=

16

9

带入一次函数解析式，得y=

5

3

．
∴此时C（

16

9

，

5

3

）
若△ACD∽△AOB相似，

AD

AB

=

AC

AO

，

t

5

=

5-t

4

，
∴t=

25

9

，
AC=5-t=

20

9

，
再过C点做CE⊥OA于E，
然后△ACE∽ABO，

AE

AO

=

AC

AB

，
即

AE

4

=

20 9

5

，
解得AE=

16

9

，
∴OE=AO-AE=4-

16

9

=

20

9

，
而且又∵

CE

OB

=

AE

AO

，即

CE

3

=

16 9

4

．
解得CE=

4

3

．所以C（

20

9

，

4

3

）
∴C（

16

9

，

5

3

）或（

20

9

，

4

3

）