题目

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．
（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；
（2）无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P是否在直线y=x上？如果在，请给出证明；如果不在，请说明理由．

答案

（1）∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AC⊥BD，
∴BP=AP=2

2

，
当∠BAO=45°时，△AOB及△BPA是等腰直角三角形，
∴OA=OB=2

2

，
∴四边形OAPB是正方形，
∵点P在第一象限，
∴P（2

2

，2

2

）；

（2）无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P是在直线y=x上．
证明：作DE⊥x轴于E，设A点坐标为（m，0），B点坐标为（0，n）．
∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAE=∠ABO
在△AOB和△DEA中：
∵

∠ABO=∠DAE AB=AD ∠BAO=∠ADE

，
∴△AOB≌△DEA（ASA）
∴AE=0B=n，DE=OA=m，
∴D点坐标为（m+n，m）
∵点P为BD的中点，且B点坐标为（0，n）
∴P点坐标为（

m+n

2

，

m+n

2

），
∴点P在直线y=x上，即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上．