题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）其中（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；
（2）判断f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）求使f（x）-g（x）＞0成立的x的集合．

答案

（1）f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x）．
若要上式有意义，则

x+1＞0 1-x＞0

，
即-1＜x＜1．
所以所求定义域为{x|-1＜x＜1}
（2）设F（x）=f（x）+g（x），
则F（-x）=f（-x）+g（-x）
=log_a（-x+1）+log_a（1+x）=F（x）．
所以f（x）+g（x）是偶函数．
（3）f（x）-g（x）＞0，
即log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，
log_a（x+1）＞log_a（1-x）．
当0＜a＜1时，上述不等式等价于

x+1＞0 1-x＞0 x+1＜1-x

解得-1＜x＜0．
当a＞1时，原不等式等价于

x+1＞0 1-x＞0 x+1＞1-x

，
解得0＜x＜1．
综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜0}；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．