题目

题型：0110 期末题难度：来源：

已知，，n∈N*，
（1）当n=1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；
（2）猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．

答案

解：（1）当n=1时，f(1)=1，g(1)=1，所以f(1)=g(1)；
当n=2时，，，所以f(2)＜g(2)；
当n=3时，，，所以f(3)＜g(3)．
（2） 由（1），猜想f(n)≤g(n)；
下面用数学归纳法给出证明：
①当n=1，2，3时，不等式显然成立；
②假设当n=k(k≥3)时不等式成立，即，
那么，当n=k+1时，，
因为，
所以；
由①、②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．