题目
题型:同步题难度:来源:
答案
∴an+1≥(an+1)2-1
∵函数g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在区间[1,+∞)上单调递增,
于是由an≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,
由此猜想:an≥2n-1
以下用数学归纳法证明这个猜想:
①当n=1时,1=a1≥21-1=1,结论成立;
②假设n=k时结论成立,即ak≥2k-1,
则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间[1,+∞)上单调递增知,
ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1时,结论也成立
由①、②知,对任意n∈N*,都有an≥2n-1
即1+an≥2n,
∴,
∴。
核心考点
举一反三
(1)用数学归纳法证明;
(2)证明。
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}中,b1=2,bn+1=,n=1,2,3,…,证明:<bn≤a4n-3,n=1,2,3,…
(1)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;
(2)对于n≥6,已知,求证:,m=1,2…,n;
(3)求出满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n。
,求证:当n∈N*时,
(Ⅰ)an<an+1;
(Ⅱ)Sn>n-2;
(Ⅲ)Tn<3。
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