题目

题型：不详难度：来源：

选做题（请考生在以下三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（1）（不等式选讲）已知函数f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a），当函数f（x）的定义域为R时，则实数a的取值范围为______
（2）（几何证明选讲）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD=5DB，设∠COD=θ，则tanθ的值为______．

（3）（坐标系与参数方程）圆O₁和圆O₂的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为______．

答案

（1）∵函数f（x）的定义域为R，∴|x-1|+|x-5|-a＞0对于x∈R恒成立，
而|x-1|+|x-5|-a＞0对于x∈R恒成立⇔a＜（|x-1|+|x-5|）_min．
令g（x）=|x-1|+|x-5|=

2x-6，当x＞5时 4，当1≤x≤5时 -2x+6，当x＜1时

，可知g（x）_min=4，∴a＜4．
（2）连接AC，BC，∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又∵CD⊥AB，∴CD²=AD×DB，
∵AD=5DB，∴CD²=5DB²，∴CD=

5

DB．
∵r=

AD+DB

2

=3DB，∴OD=r-DB=2DB．
在Rt△OCD中，tanθ=

CD

OD

=

5 DB

2DB

=

5

2

．
（3）圆O₁的极坐标方程ρ=4cosθ可以化为ρ²=4ρcosθ，∴x²+y²=4x，∴（x-2）²+y²=4，∴圆心O₁（2，0）；
圆O₂的极坐标方程ρ=-4sinθ可化为ρ²=4ρsinθ，∴x²+y²=4y，配方得x²+（y-2）²=4，∴圆心O₂（0，2）．
∴经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为 y=

0-2

2-0

x+2，即y=x+2．
故答案分别为（-∞，4），

5

2

，y=x+2．