题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，A₁A=，M是CC₁的中点，
(1)求证：A₁B⊥AM；
(2)求二面角B-AM-C的平面角的大小．

答案

解：以点C为原点，CB、CA、CC₁所在直线为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系C- xyz，如图所示，
则B(1，0，0)，，
所以，
(1)因为，
所以A₁B⊥AM。
(2)因为ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CC₁⊥平面ABC，
又BC平面ABC，所以CC₁⊥BC，
因为∠ACB=90°，即BC⊥AC，
所以BC⊥平面ACC₁，即BC⊥平面AMC，
所以是平面AMC的一个法向量，，
设n=(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，
，
由，得，
令z=2，得，所以，
因为，，
所以，
因此二面角B-AM-C的平面角的大小为45°．