题目

题型：不详难度：来源：

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB＝2，AA₁＝，点D为AC的中点，点E在线段AA₁上．

(1)当AE∶EA₁＝1∶2时，求证DE⊥BC₁；
(2)是否存在点E，使二面角D-BE-A等于60°，若存在求AE的长；若不存在，请说明理由．

答案

（1）见解析（2）存在

解析

(1)证明:连接DC₁，因为ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，所以BD⊥平面ACC₁A₁，所以BD⊥DE.因为AE∶EA₁＝1∶2，AB＝2，AA₁＝，所以AE＝，AD＝1，所以在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，在Rt△DCC₁中，∠C₁DC＝60°，所以∠EDC₁＝90°，即ED⊥DC₁，又BD∩DC₁＝D，所以ED⊥平面BDC₁，BC₁⊂面BDC₁，所以ED⊥BC₁.
(2)解　假设存在点E满足条件，设AE＝h.
取A₁C₁的中点D₁，连接DD₁，则DD₁⊥平面ABC，所以DD₁⊥AD，DD₁⊥BD，分别以DA，DB，DD₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，E(1,0，h)，所以＝(0，，0)，＝(1,0，h)，＝(－1，，0)，＝(0,0，h)，设平面DBE的一个法向量为n₁＝(x₁，y₁，z₁)，
则，令z₁＝1，得n₁＝(－h,0,1)，同理，平面ABE的一个法向量为n₂＝(x₂，y₂，z₂)，则，∴n₂＝(，1,0)．
∴cos〈n₁，n₂〉＝＝cos 60°＝.解得h＝<，故存在点E，当AE＝时，二面角D-BE-A等于60°.