题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:EF∥平面PAD.
(2)当λ=时,求异面直线BF与CD所成角的余弦值;
(3)是否存在实数λ,使得平面AFD⊥平面PCD?若存在,试求出λ的值;若不存在,请说明理由.
答案
解析
∴EF∥平面PAD.
(2)解 因为平面ABCD⊥平面PAC,平面ABCD∩平面PAC=AC,且PA⊥AC,∴PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AB,PA⊥AD.又∵AB⊥AD,
∴PA,AB,AD两两垂直.
如图所示,建立空间直角坐标系
∵AB=BC=1,PA=AD=2,
∴A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),当λ=时,F为PC中点,
∴F,∴=,=(-1,1,0),设异面直线BF与CD所成的角为θ,∴cos θ=|cos〈,〉|==.故异面直线BF与CD所成角的余弦值为.
(3)解:设F(x0,y0,z0),则=(x0,y0,z0-2),=(1,1,-2),又=λ
∴∴=(λ,λ,2-2λ),
设平面AFD的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则
即
令z1=λ,得m=(2λ-2,0,λ).
设平面PCD的一个法向量为n=(x2,y2,z2).则即
取y2=1,则x2=1,z2=1,∴n=(1,1,1),
由m⊥n,得m·n=(2λ-2,0,λ)·(1,1,1)=2λ-2+λ=0,解得λ=.
核心考点
试题【如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2.四边形ABCD满足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1.点E,F分别为侧】;主要考察你对平面的法向量等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:AC⊥平面ABC′;
(2)求证:C′N∥平面ADD′;
(3)求二面角A-C′N-C的余弦值.
(1)求证:平面EAB⊥平面ABCD;
(2)求直线AE与平面CDE所成角的正弦值.
(1)证明:平面EAC⊥平面PBD;
(2)若PD∥平面EAC,并且二面角B-AE-C的大小为45°,求PD∶AD的值.
(1)求证:平面AOD⊥平面ABCO;
(2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.
(1)求证:面PCD⊥面PBD;
(2)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小;
(3)在棱PA上是否存在一点E,使得二面角A-BE-D的余弦值为?若存在,指出点E在棱PA上的位置,若不存在,说明理由.
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