题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝.

(1)求证：平面EAB⊥平面ABCD；
(2)求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

答案

（1）见解析（2）

解析

(1)证明　取AB的中点O，连接EO，CO，∵AE＝EB＝，AB＝2，∴△AEB为等腰直角三角形，∴EO⊥AB，EO＝1，又∵AB＝BC，∠ABC＝60°.
∴△ACB是等边三角形，∴CO＝，又EC＝2，∴EC²＝EO²＋CO²，∴EO⊥CO.
又∵CO∩AB＝O，∴EO⊥平面ABCD，又EO⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平面ABCD.
(2)解　以AB中点O为坐标原点，分别以OC，OB，OE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0，－1,0)，C(，0,0)，D，E(0,0,1)．
∴＝(，0，－1)，＝(0,2,0)，＝(0,1,1)．
设平面CDE的法向量n＝(x，y，z)，
令z＝1，解得
∴平面CDE的一个法向量n＝，设直线AE与平面CDE所成角为θ.
∴sin θ＝＝＝.
∴直线AE与平面CDE所成角的正弦值是.