题目

题型：不详难度：来源：

设f（x）是定于在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x₁，x₂∈（0，1），恒有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2，则关于函数f（x）有：
（1）对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）对任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）对任意x∈（0，1），恒有f′（x）=0；
（4）当x∈（0，1），函数y=

f(x)

x

+x为减函数．
上述四个命题中正确的有______．

答案

因为对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0，
所以令x₁=x，x₂=1-x，则

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

≥2

f(x) f(1-x) ⋅ f(1-x) f(x)

=2，
由②知

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

≤2，所以必有

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

=2，当且仅当

f(x)

f(1-x)

=

f(1-x)

f(x)

=1，即f（x）=f（1-x）时取等号，所以（1）错误，（2）正确．
（3）将②中的变量x₁，x₂，交换位置得

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≤2，③，将②③相加得

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

+

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤4，
因为

f(x2)

f(x1)

+

f(x1)

f(x2)

≥2

f(x2) f(x1) ⋅ f(x1) f(x2)

=2，

f(1-x2)

f(1-x1)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≥2

f(1-x2) f(1-x1) ⋅ f(1-x1) f(1-x2)

=2，
所以

f(x2)

f(x1)

+

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≥4，所以

f(x2)

f(x1)

+

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

=4，
当且仅当，

f(x2)

f(x1)

=

f(x1)

f(x2)

=1，

f(1-x2)

f(1-x1)

=

f(1-x1)

f(1-x2)

=1，取等号，所以f（x₁）=f（x₂），即对任意的变量x₁，x₂，都有所以f（x₁）=f（x₂），
所以f（x）为常数，所以f"（x）=0，所以（3）成立．
（4）因为f（x）为常数，所以设f（x）=c＞0，
所以y=

f(x)

x

+x=

c

x

+x，函数的导数为y"=1-

c

x2

，当x＞0时，由y"＜0得，0＜x＜

c

，所以函数在（0，

c

）上单调递减，所以当c＜1时，函数y=

f(x)

x

+x为减函数不一定正确．
故正确的是（2）（3）．