函数的对称性
对称性的概念
①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。
常见函数的对称性
常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)
①常数函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数:是轴对称,不是中心对称,其对称轴方程为x=-b/(2a)。
④反比例函数:既是轴对称又是中心对称,其中原点为它的对称中心,y=x与y=-x均为它的对称轴。
⑤指数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。
⑥对数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。
⑦幂函数:显然幂函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点;幂函数中的偶函数是轴对称,对称轴是y轴;而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中(kπ,0)是它的对称中心,x=kπ+π/2是它的对称轴。
⑨正弦型函数:正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称,只需从ωx+φ=kπ中解出x,就是它的对称中心的横坐标,纵坐标当然为零;只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x,就是它的对称轴;需要注意的是如果图像向上向下平移,对称轴不会改变,但对称中心的纵坐标会跟着变化。
⑩余弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中x=kπ是它的对称轴,(kπ+π/2,0)是它的对称中心。
⑾正切函数:不是轴对称,但是是中心对称,其中(kπ/2,0)是它的对称中心,容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是(kπ,0)。
⑿对号函数:对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称,原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴,例如在处理函数y=x+1/x时误以为会有f0.5)=f(1.5),我在教学时总是问学生:你可看见过老师将“√”两边画得一样齐?学生们立刻明白并记忆深刻。
⒀三次函数:显然三次函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
⒁绝对值函数:这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数,它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如y=│lnx│就没有对称性,而y=│sinx│却仍然是轴对称。
- 【题文】已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x)
- 【题文】设函数在上满足,,则函数的周期是 .
- 【题文】已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x)
- 【题文】设函数在上满足,,则函数的周期是 .
- 【题文】函数与的图象关于
A.直线对称 B.轴对称 C.轴对称 D.原点对称 - 【题文】函数与的图象关于
A.直线对称 B.轴对称 C.轴对称 D.原点对称 - 【题文】已知定义在R上的函数y=f(x)的图像的两个对称中心分别是M(2,),N (4,),f(6)= .
- 【题文】已知定义在R上的函数y=f(x)的图像的两个对称中心分别是M(2,),N (4,),f(6)= .
- 【题文】求证=(的对称中心为
- 【题文】求证=(的对称中心为
- 【题文】设函数则的值为( )
A. B. C. D. - 【题文】设函数则的值为( )
A. B. C. D. - 【题文】已知是偶函数,则的图像的对称轴是直线 .
- 【题文】已知是偶函数,则的图像的对称轴是直线 .
- 【题文】已知函数满足:,,则=_____________.
- 【题文】已知函数满足:,,则=_____________.
- 【题文】函数f(x)=x2+mx+1的图像关于直线x=1对称的充要条件是
(A) (B) (C) (D) - 【题文】函数f(x)=x2+mx+1的图像关于直线x=1对称的充要条件是
(A) (B) (C) (D) - 【题文】设是以4为周期的偶函数,且当时, ,则
- 【题文】设是以4为周期的偶函数,且当时, ,则
- 【题文】设函数定义在实数集上,,则有 ( )
A. B. C. D. - 【题文】设函数定义在实数集上,,则有 ( )
A. B. C. D. - 【题文】若函数的图象关于直线对称,则 ▲ .
- 【题文】已知是R上的偶函数,对任意的都有成立,若,则
A 2007 B 2 C 1 D 0 - 【题文】若函数的图象关于直线对称,则 ▲ .
- 【题文】已知是R上的偶函数,对任意的都有成立,若,则
A 2007 B 2 C 1 D 0 - 【题文】已知f(x)是定义在实数集R上的函数,且满足f(x+2)-f(x+2)f(x)-f(x)=1,f(1)=,f(2)=-,则f(2006)= .
- 【题文】下列函数中,图象关于轴对称的是( )
A. B. C. D. - 【题文】已知f(x)是定义在实数集R上的函数,且满足f(x+2)-f(x+2)f(x)-f(x)=1,f(1)=,f(2)=-,则f(2006)= .
- 【题文】下列函数中,图象关于轴对称的是( )
A. B. C. D. - 【题文】函数的图像与函数的图像关于直线对称,则
. - 【题文】函数的图像与函数的图像关于直线对称,则
. - 【题文】函数f(x)对任意x满足条件f(x+2)= ,f(1)=-5,则f(f(5))=
A. B.- C.-5 D.5 - 【题文】函数f(x)对任意x满足条件f(x+2)= f(1)=-5,则f(f(5))=
A. B.- C.5 D.-5 - 【题文】函数f(x)对任意x满足条件f(x+2)= ,f(1)=-5,则f(f(5))=
A. B.- C.-5 D.5 - 【题文】函数对于任意实数满足条件,若则
。 - 【题文】函数f(x)对任意x满足条件f(x+2)= f(1)=-5,则f(f(5))=
A. B.- C.5 D.-5 - 【题文】函数对于任意实数满足条件,若则
。 - 【题文】已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(2)=4,则f(-1)=" " ( )
A. -2 B. 1 C. 0.5 D. 2 - 【题文】已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(2)=4,则f(-1)=" " ( )
A. -2 B. 1 C. 0.5 D. 2 - 【题文】函数 的图像关于( )
A.轴对称 B.轴对称 C.原点对称 D.对称 - 【题文】函数 的图像关于( )
A.轴对称 B.轴对称 C.原点对称 D.对称 - 【题文】已知是R上的偶函数,且满足时,= 。
- 【题文】函数的图像关于( )
轴对称 原点对称 轴对称 直线对称
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