题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图)．在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4km的区域，
(Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程；
(Ⅱ)如图所示，设线段P₁P₂，P₂P₃是冰川的部分边界线(不考虑其他边界)，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍．求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．

答案

解：(Ⅰ)设边界曲线上点P的坐标为(x，y)，
当x≥2时，由题意知，，
当x＜2时，由|PA|+|PB|=4知，点P在以A，B为焦点，长轴长为2a=4的椭圆上，
此时短半轴长=2，
因而其方程为，
故考察区域边界曲线（如图）的方程为C₁：和C₂：。

(Ⅱ)设过点P₁，P₂的直线为l₁，过点P₂，P₃的直线为l₂，
则直线l₁，l₂的方程分别为，
设直线l平行于直线l₁，其方程为，
代入椭圆方程，消去y，得，
由△=100×3m²-4×16×5(m²-4)=0，解得m=8或m=-8，
从图中可以看出，当m=8时，直线l与C₂的公共点到直线l₁的距离最近，此时直线l的方程为y=x+8，
l与l₁之间的距离为，
又直线l₂到C₁和C₂的最短距离，
而d′＞3，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3．
设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，
则由题设及等比数列求和公式，得，所以n≥4．