题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅱ)由 (Ⅰ) 可知: 过抛物线的焦点的动直线 l 交抛物线于两点, 存在定点, 使得为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.
答案
(II) 过椭圆的一个焦点的动直线l交椭圆于、两点, 存在定点, 使为定值.
解析
(1)先讨论出当直线l垂直于x轴时,的值;再设出直线方程,把直线与抛物线方程联立,得到A,B两点的坐标和斜率之间的关系,再代入
计算即可得到结论
(2)先写出类似结论,再根据第一问求
的方法即可得到结论.(注意要分直线斜率存在和不存在两种情况讨论).
解: (I) 若直线l垂直于x轴, 则, .
……………2分
若直线l不垂直于x轴, 设其方程为, .
由
……………4分
.
综上, 为定值. ……………6分
(II) 关于椭圆有类似的结论: 过椭圆的一个焦点的动直线l交椭圆于、两点, 存在定点, 使为定值. ……………7分
证明: 不妨设直线l过椭圆的右焦点其中
若直线l不垂直于x轴, 则设其方程为: , .
由得:
……………9分
由对称性可知, 设点在x轴上, 其坐标为
所以
要使为定值,
只要
即
此时……………12分
若直线l垂直于x轴, 则其方程为, , .
取点,
有……………13分
综上, 过焦点的任意直线l交椭圆于、两点, 存在定点
使为定值. ……………14分
核心考点
试题【(I) 已知抛物线过焦点的动直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点, 求证: 为定值;(Ⅱ)由 (Ⅰ) 可知: 过抛物线的焦点的动直线 l 交抛物线于两点, 】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C.或 | D.或 |
(1)焦点在坐标轴上,且经过两点;
(2)经过点(2,-3)且与椭圆具有共同的焦点.
距离也为,则该椭圆的离心率为
若过椭圆左焦点的直线MF1是圆的切线,则椭圆的离心率为
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