题目
题型:不详难度:来源:
(1)求点B的轨迹方程;
(2)当点D位于y轴的正半轴上时,求直线PQ的方程;
(3)若G是圆C上的另一个动点,且满足FG⊥FE,记线段EG的中点为M,试判断线段OM的长度是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
答案
解析
所以点B的轨迹是以C、F为焦点,长轴为4的椭圆,所以B点的轨迹方程为=1.
(2)当点D位于y轴的正半轴上时,因为D是线段EF的中点,O为线段CF的中点,所以CE∥OD,且CE=2OD,所以E、D的坐标分别为(-1,4)和(0,2).
因为PQ是线段EF的垂直平分线,所以直线PQ的方程为y=x+2,即直线PQ的方程为x-2y+4=0.
(3)设点E、G的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则点M的坐标为,因为点E、G均在圆C上,且FG⊥FE,所以(x1+1)2+=16,①,(x2+1)2+=16,②
(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,③
所以+=15-2x1,+=15-2x2,x1x2+y1y2=x1+x2-1.所以MO2=[(x1+x2)2+(y1+y2)2]=·[(+)+(+)+2(x1x2+y1y2)]=[15-2x1+15-2x2+2(x1+x2-1)]=7,即M点到坐标原点O的距离为定值,且定值为.
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x+1)2+y2=16,点F(1,0),E是圆C上的一个动点,EF的垂直平分线PQ与CE交于点B,与EF交于点D.(1)】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B、D是椭圆C上的两相异点,且BD⊥x轴,求·的取值范围;
(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点P,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,试判断l1,l2是否垂直?并说明理由.
(1)设P是椭圆C上任意一点,若=m+n,求证:动点Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程;
(2)若M、N是椭圆C上两个动点,且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积,试探求△OMN的面积是否为定值,并说明理由.
(1)若AB=,求k的值;
(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.
过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M,以QM为直径的圆的圆心为N.
(1)求椭圆方程;
(2)若圆N与x轴相切,求圆N的方程;
(3)设点R为圆N上的动点,点R到直线PF的最大距离为d,求d的取值范围.
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