题目
题型:不详难度:来源:
(1)设P是椭圆C上任意一点,若=m+n,求证:动点Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程;
(2)若M、N是椭圆C上两个动点,且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积,试探求△OMN的面积是否为定值,并说明理由.
答案
解析
(2)解:(解法1)设M(x1,y1),N(x2,y2),则,平方得=16=(4-)(4-),即+=4.因为直线MN的方程为(y1-y2)x-(x1-x2)y+x1y2-x2y1=0,所以O到直线MN的距离为d=,所以△OMN的面积S=MN·d=|x1y2-x2y1|====1,故△OMN的面积为定值1.
(解法2)设OM的方程为y=kx(k>0),则ON的方程为y=-x(k>0).联立方程组解得M.同理可得N
因为点N到直线OM的距离为d=,OM==2,所以△OMN的面积S=d·OM==1,故△OMN的面积为定值.
核心考点
试题【如图,已知椭圆C的方程为+y2=1,A、B是四条直线x=±2,y=±1所围成的矩形的两个顶点.(1)设P是椭圆C上任意一点,若=m+n,求证:动点Q(m,n)在】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若AB=,求k的值;
(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.
过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M,以QM为直径的圆的圆心为N.
(1)求椭圆方程;
(2)若圆N与x轴相切,求圆N的方程;
(3)设点R为圆N上的动点,点R到直线PF的最大距离为d,求d的取值范围.
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