题目

题型：0111 期中题难度：来源：

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1，
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）求二面角A-BF-C的平面角的余弦值；
（3）若点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围。

答案

（1）证明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2，
∴
=3，
∴，
∴BC⊥AC，
∵平面ACEF⊥平面ABCD，
平面ACFE∩平面ABCD=AC，
平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE。 （2）解：取FB中点为G，连结AG、CG，
∵，
∴AB=AF，
∴AG⊥FB，
∵CF=CB=1，
∴CG⊥FB，
∴∠AGC=θ，
∵BC⊥CF，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，
①当M与F重合时，；
②当M与E重合时，过B作BN∥CF，
且使BN=CF，连结EN、FN，
则平面，
∵BC⊥CF，又∵AC⊥CF，
∴CF⊥平面ABC，
∴BN⊥平面ABC，
∴∠ABC=θ，
∴θ=60°，
∴；
③当M与E、F都不重合时，
令，
延长AM交CF的延长线于N，连结BN，
∴N在平面MAB与平面FCB的交线上，
∵B在平面MAB与平面FCB的交线上，
∴平面MAB∩平面FCB=BN，
过C作CH⊥NB交NB于H ，连结AH，
由（Ⅰ）知，AC⊥BC，
又∵AC⊥CN，
∴AC⊥平面NCB，
∴AC⊥NB，　
又∵CH⊥NB，AC∩CH=C，
∴NB⊥平面ACH，
∴AH⊥NB，
∴∠AHC=θ，
在△NAC中，
可求得NC=，
从而，在△NCB中，
可求得CH=，
∵∠ACH=90°，
∴AH=，
∴，
∵，
∴，
综上得。