题目

题型：浙江省期中题难度：来源：

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点，将△ACD沿折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示，
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-M的余弦值。

答案

解：（Ⅰ）取AC的中点O，
连接DO，则DO⊥AC，
∵平面ADC⊥平面ABC，
∴DO⊥平面ABC，
∴DO⊥BC，
在直角梯形ABCD中，连接CM，
可得CM=AD=2，AC=BC=2，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，
又∵DO∩AC=O，
∴BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）取CD的中点N，
连接MO，NO，MN，
则MO∥BC，
∴MO⊥平面ACD，
∴MO⊥CD，
∵AD⊥CD，ON∥AD，
∴ON⊥CD，
又∵MO∩NO=O，
∴CD⊥平面MON，
∴CD⊥MN，
∴∠MNO是所求二面角的平面角，
在Rt△MON中，
，
∴MN=，
∴cos∠MNO=。