题目

题型：山东省期中题难度：来源：

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=，EF=2，
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）求证：EF⊥平面DCE；
（3）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？

答案

（1）证明：过点E作EG⊥CF交CF于G，连结DG，
可得四边形BCGE为矩形，
又ABCD为矩形，所以AD⊥∥EG，
从而四边形ADGE为平行四边形，
故AE∥DG。
因为AE平面DCF，DG平面DCF，
所以AE∥平面DCF。
（2）证明：由平面ABCD⊥平面BEFG，DC⊥BC，
得DC⊥平面BEFC，
所以DC⊥EF，
又EF⊥EC，DC与EC交于点C，
所以EF⊥平面DCE。
（3）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连结AH，
由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，
得AB⊥平面BEFC，
从而AH⊥EF，
所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角，
在Rt△EFG中，因为EG=AD=，EF=2，
所以，
又因为CE⊥EF，所以CF=4，
从而BE=CG=3，于是BH=BE·sin∠BEH=，
因为AB=BH·tan∠AHB，
所以当AB为时，二面角A-EF-G的大小为60°。