题目
题型:不详难度:来源:
(1)试建立适当的坐标系,并写出点P、B、D的坐标;
(2)问当实数a在什么范围时,BC边上能存在点Q,使得PQ⊥QD?
(3)当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时,求二面角Q-PD-A的大小.
答案
解析
试题分析:(1)以A为坐标原点,AB、AD、AP分
别为x、y、z轴建立坐标系如图所示.∵PA=AB=1,BC=a,∴P(0,0,1),B(1,1,0),
D(0,a,0).
(2)设点Q(1,x,0),则.
由,得x2-ax+1=0.
显然当该方程有实数解时,BC边上才存在点Q,使得PQ⊥QD,故⊿=a2-4≥0.
因a>0,故a的取值范围为a≥0.
(3)易见,当a=2时,BC上仅有一点满足题意,此时x=1,即Q为BC的中点.
取AD的中点M,过M作MN⊥PD,垂足为N,连结QM、QN.则M(0,1,0),P(0,0,1),D(0,2,0).
∵D、N、P三点共线,∴.
又,且,
故.于是.
故.
∵,∴.∴∠MNQ为所求二面角的平面角.
∵,∴所求二面角为.
点评:空间向量就是一把解决立体几何问题的钥匙,利用向量解答立体几何问题实现了形向数的转化,降低了问题解决的难度
核心考点
试题【如图所示,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1.(1)试建立适当的坐标系,并写出点P、B、D的坐标;(2)问当实】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:平面ACB1⊥平面BB1C1C;
(2)在A1B1上是否存在一点P,使得DP与平面ACB1平行?证明你的结论.
(Ⅰ)求证://平面;
(Ⅱ)若平面,求平面与平面夹角的余弦值.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
是 .
①.若 ,, 则 ; ②.若,,则 ;
③. 若 ,,则 ; ④.若 ,,则 .
如图,已知正四棱柱的底面边长是,体积是,分别是棱、的中点.
(1)求直线与平面所成的角(结果用反三角函数表示);
(2)求过的平面与该正四棱柱所截得的多面体的体积.
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