题目
题型:不详难度:来源:
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;
(3)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
答案
解析
试题分析:(1)由三视图可知,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2. 1分
∴,即四棱锥P-ABCD的体积为. 3分
(2)不论点E在何位置,都有BD⊥AE. 4分
证明如下:连结AC,∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC. 5分
∵PC⊥底面ABCD,且BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PC. 6分
又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面PAC. 7分
∵不论点E在何位置,都有AE⊂平面PAC.
∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE. 8分
(3)解法1:在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F,连结BF.
∵AD=AB=1,DE=BE==,AE=AE=,
∴Rt△ADE≌Rt△ABE,
从而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AE.
∴∠DFB为二面角D-AE-B的平面角. 10分
在Rt△ADE中,DF===, ∴BF=. 11分
又BD=,在△DFB中,由余弦定理得
cos∠DFB=, 12分
∴∠DFB=,
即二面角D-AE-B的大小为. 13分
解法2:如图,以点C为原点,CD,CB,CP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1), 9分
从而=(0,1,0),=(-1,0,1),=(1,0,0),=(0,-1,1).
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
,
由,取
由,取 11分
设二面角D-AE-B的平面角为θ,
则, 12分
∴θ=,即二面角D-AE-B的大小为 . 13分
点评:本题先由三视图得到几何体的特征,把握住CD,CB,CP两两垂直,因此可借助于空间向量法判定线面的垂直关系与求解二面角
核心考点
试题【已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;(3】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
(1)求证:四边形为平行四边形;
(2)在的何处时截面的面积最大?最大面积是多少?
(1)求证:⊥平面;
(2)求二面角的大小.
(1)求证:
(2)求三棱锥的体积.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求三棱锥的体积;
(Ⅲ)在线段上是否存在点N,使得?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
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