题目
题型:山西省模拟题难度:来源:
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x﹣y=3,求实数a的值;
(2)若f(x)的值域为[0,+∞),求a的值;
(3)若a<0,对任意x1,x2∈(0,1],且x1≠x2,恒有,求实数a的取值范围.
答案
∴f"(1)=1﹣a
∴曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为1﹣a
∵曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3x﹣y﹣3=0,
∴1﹣a=3,解得a=﹣2.
(2)f"(x)=1﹣ = ,其中x>0
(i)当a≤0时,f"(x)>0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数
而f(1)=0,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,与f(x)≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不满足题意.
(ii)当a>0时,
∵x>a时,f"(x)>0,所以函数f(x)在(a,+∞)上是增函数;
0<x<a时,f"(x)<0,所以函数f(x)在(0,a)上是减函数;
∴f(x)≥f(a)=a﹣a﹣alna
∵f(1)=0,所以当a≠1时,f(a)<f(1)=0,此时与f(x)≥0恒成立相矛盾 ∴a=1
综上所述,若f(x)的值域为[0,+∞),则a=1;
(3)由(2)可知,当a<0时,函数f(x)在(0,1]上是增函数,
又函数y= 在(0,1]上是减函数
不妨设0<x1≤x2≤1 则|f(x1)﹣f(x2)|=f(x2)﹣f(x1),
∴|f(x1)﹣f(x2)|≤4| ﹣ |即f(x2)+4× ≤f(x1)+4×
设h(x)=f(x)+ =x﹣1﹣alnx+ ,
则|f(x1)﹣f(x2)|≤4| ﹣ |等价于函数h(x)在区间(0,1]上是减函数
因为h"(x)=1﹣ ﹣ = ,
所以x2﹣ax﹣4≤0在(0,1]上恒成立,
即a≥x﹣ 在(0,1]上恒成立,
即a不小于y=x﹣ 在(0,1]内的最大值.
而函数y=x﹣ 在(0,1]是增函数,
所以y=x﹣ 的最大值为﹣3
所以a≥﹣3,又a<0,所以a∈[﹣3,0).
核心考点
试题【已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx(a∈R).(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x﹣y=3,求实数a的值;(2)若f(x)的值域为[0,+∞),求】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)求a的值;
(II)证明:g(x)≤f(x)在x∈(0,+∞)内恒成立.
(1)a=1时,求F(x)=f(x)﹣g(x)的单调区间;
(2)若x>1时,函数y=f(x)的图象总在函数y=g(x)的图象的上方,求实数a的取值范围
(Ⅰ)当时,讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)设g(x)=x2﹣2bx+4,当时,若对任意x1∈(0,2),当x2∈[1,2]时,
f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数b的取值范围.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)设F(x)=a+f"(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性;
(3)斜率为k的直线与曲线y=f"(x)交于A(,)、B(x2,y2)(<x2)两点,求证:.
最新试题
- 1下列河流中,径流的季节变化最小的是:A.珠江 B.密西西比河 C.泰晤士河D.尼罗河
- 2对于代数式a+b2,下列描述正确的是( )A.a与b2的平方的和B.a与b的平方和C.a与b的和的平方D.a与b的平方
- 3已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f(|x|)<f(1)的实数x的取值范围是[ ]A.(-1,1)B.(0,
- 4企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为
- 5当我们细细地咀嚼馒头时,会感觉到有甜味,这是为什么呢?某同学猜想,在牙齿的咀嚼和舌的搅拌下,还是口腔中的唾液使馒头变甜的
- 6世界电影艺术界已经走过百余年。如今的世界电影,依托高新技术,以双超大银幕电影、立体电影、球幕电影、动感电影、PSP网络电
- 7下列单词中不属于开音节的是______. [ ]A. hi B. fine C. quilt
- 8(1)将氧化铜和铜粉的混合物加入到稀盐酸中,能溶解的物质是______.(2)向含有少量H2SO4的Na2SO4溶液中,
- 9第二节:完形填空(共20小题;每小题1.5分,满分30分)阅读下面短文,掌握其大意,然后从16-35各题所给的A、B、C
- 10如图所示,四边形ABCD和四边形AB′C′D分别是矩形和平行四边形,其中各点的坐标分别为A(-1,2)、B(3,2)、C
热门考点
- 1有一个密码系统,其原理由下面的框图所示.当输入数x为-2时,则输出的值是 .
- 2王夫之说:“以天下论者,必循天下之公,天下非一姓之私也。”依据此言论,可见其思想的进步性在于A.反对中央集权B.主张“工
- 3一束平行光从空气中斜射入水中,当入射角逐渐增大时,则折射角( )A.仍保持不变B.将逐渐减小C.将逐渐增大,但总小于入
- 42010年4月冰岛火山喷发时喷出的火山灰,严重影响了欧洲的航运,使原本计划参加在瑞士举行的第38届国际发明博览会的中国参
- 5苔藓植物比蕨类植物长得矮小的原因是( )A.苔藓植物只能生活在阴暗潮湿的地方B.苔藓植物的叶只有一层细胞C.苔藓植物只
- 6The black baby boy is at the stage he can only say a fe
- 7贝多芬的一生遭受了数不清的磨难,尤其是双耳失聪对他的打击几乎是致命的。可他却能重新振作起来,创作出《命运交响曲》等著名的
- 8设直线l过点(-2,0)且与圆x2+y2=1相切,则l的斜率为______.
- 9下图是实验室制取氧气的两种发生装置。回答下列问题:⑴乙图中标号①的仪器的名称是_________;⑵下列反应都能生成氧气
- 10复数i2(1+i)的虚部是______.